LAS DEMOSTRACIONES EN MATEMÁTICAS

LAS DEMOSTRACIONES EN MATEMÁTICAS.
Definiciones.
Las matemáticas tienen un vocabulario y un conjunto de símbolos propio que se caracteriza por su
precisión y brevedad. Los símbolo matemáticos más frecuentes son: numéricos, para designar conjuntos
numéricos, para operaciones y para expresar relaciones.
Las palabras más utilizadas en la terminología matemática son las siguientes:
● Conceptosprimitivos. Son ideas esenciales que no admiten definición porque no se pueden
reducir a otras más simples, por ejemplo punto, conjunto y elemento.
● Definiciones. Una definición es una explicación del significado de un concepto señalando o
indicando el contenido del mismo, por ejemplo número primo, función y límite de una función.
● Axiomas o postulados. Antiguamente se diferenciaba entre los dosconceptos. El axioma era un
enunciado que se admitía sin demostración por considerarlo evidente, mientras que un postulado
era un enunciado que se debería admitir y que era susceptible de ser demostrado. Actualmente no
se distingue entre axioma o postulado por lo que la palabra postulado casi no se utiliza.
Teoremas, tipos de teoremas.
Mediante los símbolos, los conceptos primitivos, las definicionesy los axiomas podemos descubrir
propiedades que tienen los objetos matemáticos que no están incluidas en sus definiciones. Estas
propiedades no son evidentes y es necesario demostrarlas, se les conoce con el nombre de teoremas.
Un teorema es una propiedad que se justifica o se demuestra mediante un razonamiento o deducción
lógica. En el enunciado de un teorema distinguimos dos partes, la hipótesiso condiciones de partida y la
tesis o conclusión. Se denota hipótesis con H y tesis con T.
Corolario. Es una verdad que se deriva como consecuencia de un teorema. Suelen ser pequeños teoremas
que suelen derivarse de otro teorema casi de forma inmediata, generalmente como casos particulares.
Lema. Es un teorema auxiliar que necesitamos durante el proceso de demostrar otro teorema que
generalmentees más importante.
Un teorema escrito de la forma H ⇒ T se llama teorema directo, siendo H la hipótesis y T la tesis y se lee
“si se verifica H, entonces se verificará T”. Hay otros teoremas relacionados con el directo:
Teorema contrario. Si no se verifica H, entonces no se verificará T (no H ⇒ no T).
Teorema recíproco. Si se verifica T, entonces se verificará H (T ⇒ H).
Teorema contrarrecíproco.Si no se verifica T, entonces no se verificará H (no T ⇒ no H).
Ejemplo.
● Directo: ser madrileño (H) significa ser español (T); H ⇒ T.
● Recíproco: ser español (T) significa ser madrileño (H); T ⇒ Η. No se verifica, el hecho de ser
español no implica ser madrileño.
● Contrario: no ser madrileño (no H) significará no ser español (no T); no H ⇒ no T. No se verifica
pues se puede no ser madrileño(por ejemplo andaluz) y ser español.
● Contrarrecíproco: no ser español (no T) significaría no se madrileño (no H); no T ⇒ no H. Se
verifica, pues si no se es español no se puede ser madrileño.
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Juan Carlos González Pérez Maturita Matemáticas Curso 2009/10
Las relaciones que se verifican entre los teoremas asociados son las siguientes:
- El teorema directo o contrarrecíproco son ambos ciertos oambos falsos.
- El teorema contrario y recíproco son ambos ciertos o ambos falsos.
Condiciones necesarias y suficientes.
El teorema directo afirma que si se verifica H, entonces se verificará T. En lenguaje matemático se dice
entonces que H es suficiente para que se cumpla T. Simbólicamente se expresa: H ⇒ T; H es condición
suficiente para que se cumpla T.
En este mismo teorema también se dice que Tes condición necesaria para que se cumpla H.
Simbólicamente: H ⇒ T; T es condición necesaria para que se cumpla T.
Demostraciones matemáticas.
Una demostración es un razonamiento o deducción lógica que partiendo de unas hipótesis nos permite
llegar a unas tesis o conclusiones. En matemáticas se han desarrollado muchos métodos de demostración,
veamos algunos de los más comunes.
Demostración...