Las Derivadas.









Introducción


_En este trabajo explicaremos que son las derivadas, explicaremos sus propiedades y haremos ejercicios y trataremos que ustedes aprendan con esta información.
_Para los matemáticos del S.XVII, los conceptos fundamentales del cálculo infinitesimal eran los de variable, función y limite, resultado de la intuición en aquel tiempo.
_La utilización de reglasformales para hallar derivadas se llama diferenciación formal. Cuando hayamos la derivada de una función, ya sea mediante el proceso s de Fermat a mediante una fórmula, decimos que hemos diferenciado la función. En cálculo, el término “diferenciar” significa “encontrar la derivada de”














Definición del tema
_La derivada de una función en un punto “a” surge del problema decalcular la tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el primero que aportó la primera idea al tratar de buscar los máximos y mínimos de algunas funciones. En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba aquellos puntos en los que las tangentesfueran horizontales
La derivada de una función en un punto mide, por tanto, la pendiente de la tangente a función en dicho punto. Nos va a servir para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función o la concavidad o convexidad de la misma en los diferentes intervalos en los que se puede descomponer su campo de existencia.
. Es importante tener en cuenta que hay funciones que no tienenderivadas en un punto, y que para que una función tenga derivada, la función debe ser continua pero no todas las funciones continuas son derivables en todos sus puntos
_El límite, si existe, se le denomina derivada de una función f(x) en X0 .
En general
Sea f una función real y sea X0 E R. Decimos que f es derivable en X0 solo si existe el límite.

f(X0 + h) . f (X0) ; h = x- X0h: ▲X
lim ___________________________________
h->0 h
h ≠ ▲X
_Este límite, cuando existe, se denomina derivada de f en X0 y se denota por f’ (X0)
Ejemplo
_Calcular las derivadas de la función f(x) = x2 + 1 en X0 =4
Remplazando X0 =4 en f’ (X0 )= lim f(X0 +h)-f(X0)h->0 ----------------------
h
f’(4) = lim f(4+h)-f(4) = lim (4+h)2 + 1 –(42 +1)
---------------------- -----------------------
h->0 h h->0 h
= lim 16+8h+h2 +1-17= lim 8h+h2 = lim h( 8+h)=8
h->0-----------------------n->0---------- h->0 --------------
h h
La derivada de las funciones (x)=x2 +1 en X0 =4 es 8





Propiedades principales
Las conocemos como reglas de derivación y entre ellas podemos referir a las siguientes:

Regla nº 1

LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la constante por la derivada dela función.
Llamada también Regla del Múltiplo Constante, nos dice que derivando una función cualquiera en la cual se presente un factor constante, este lo podemos "sacar" de la expresión matemática.
y = 5x -2

y’= (5) [(-2) x -2-1]
y’= -10x -3

Regla nº 2

LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma (y también de las diferencias) de las derivadas de las funciones.
La regla dela suma y de la diferencia se puede extender de forma que cubran sumas y diferencias de cualquier número finito de funciones:
Sea:
F(x)= f(x) + g(x) - h(x) + j(x)
Entonces:
F'(x) = f'(x) + g'(x) - h'(x) + j'(x) 
Ejemplos:

a) y = 3x -4 + 3x 4
y’= 
y’= (3) (-4)x -4-1 + (3)(4)x 4-1
y’= -12x -5 + 12x 3


b)


Es decir 


Regla nº 3

LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es...