Las derivaras por formulas

CAPÍTULO 4
LA DERIVADA POR FÓRMULAS
4.1 FÓRMULAS (Áreas 1, 2 y 3)
Obtener la derivada de cualquier función por alguno de los dos métodos vistos anteriormente,
el de tabulaciones y el de incrementos, resulta una tarea muy engorrosa, por lo que es preferible
tener fórmulas para su cálculo.
Para comprender el significado simbólico de las fórmulas, el estudiante debe recordar que
el símbolo deun operador es el grafo o representación escrita con el que se hace alusión a la
operación. Así por ejemplo, a continuación se muestran diferentes operadores conocidos:
+ operador suma
× operador multiplicación
÷ operador división
operador raíz cuadrada
De la misma manera, el operador derivada es d . Así como en el operador suma, como
dx
en el de multiplicación y división, para que tengasentido debe escribirse una cantidad antes y
otra después, o bien, en el operador raíz cuadrada debe escribirse una cantidad adentro para indicar
a qué cantidad se le está sacando raíz, en el operador derivada lo que se escribe a continuaLa
derivada por fórmulas
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ción de dicho operador es a lo que se le aplica la derivada, aunque a veces se escribe en el mismo
numerador cuando es unaexpresión muy corta. Analícense los siguientes ejemplos del uso del
operador derivada:
El operador derivada se está aplicando a x. Por ser
d x
dx
una expresión muy corta se prefiere escribir la x en
el numerador de la siguiente manera: dx .
dx
2 1 El operador derivada se está aplicando a la raíz cua- d x
dx
−
drada 2x −1 .
(3 4 5 3 8 2 9 11) (El operador derivada está aplicado alpolinomio). d x x x x
dx
+ − + −
(El operador derivada está aplicado a la fracción). 2
3 4
6 1
d x
dx x
⎛ − ⎞
⎜ − ⎟ ⎝ ⎠
(3 2 2) (El operador derivada está aplicado a la función d sen x
dx
−
trigonométrica seno).
( ) (El operador derivada está aplicado a todo el poli- d 3x5 1 4
dx
−
nomio elevado a la cuarta potencia).
El estudio de la derivada a través de fórmulas se hará por bloques:
Laderivada por fórmulas
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a) Fórmulas básicas.
b) Fórmulas generalizadas:
b.1) Para funciones algebraicas:
b.1.1) de la forma un (potencia),
b.1.2) de la forma uv (producto),
b.1.3) de la forma u/v (cociente).
b.2) Para funciones trascendentes:
b.2.1) funciones trigonométricas,
b.2.2) funciones trigonométricas inversas,
b.2.3) funciones logarítmicas y exponenciales.
4.2 FÓRMULAS BÁSICAS(Áreas 1, 2 y 3)
(1) 0 (la derivada de una constante es cero) d c
dx
=
(2) 1 (la derivada de x es 1) d x
dx
=
(3) n n 1 d x nx
dx
= −
(4) ( ) (La derivada de una suma es la suma d u v ... d u d v ...
dx dx dx
+ + = + +
de las derivadas).
(5) (La derivada de una constante por una función es la
d cu c d u
dx dx
=
constante por el resultado de derivar la función. Se
dice que laconstante se saca de la derivación).
La derivada por fórmulas
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Ejemplo 1: Hallar la derivada de y = x6 .
Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un lado debe hacerse del otro para que
la igualdad se conserve), aplicando el operador derivada a ambos miembros:
d y d x6
dx dx
=
En el lado derecho, empleando la fórmula (3), donde n = 6 :

6 1
dy 6 x
dx
−
=
n x n- 1
dy 6x5
dx
=
Ejemplo 2: Hallar la derivada de y = 5x3 .
Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un lado debe hacerse del otro para que
la igualdad se conserve), aplicando el operador derivada a ambos miembros:
d y d 5x3
dx dx
=
Empleando primero la fórmula (5) en el lado derecho de la igualdad anterior:
La derivada por fórmulas
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dy 5 d x3
dx dx
=

cdu
dx
Ahora utilizando la fórmula (3), donde n = 3 :
dy 5(3x3 1 )
dx
= −
dy 15x2
dx
=
Obsérvese que ya en forma práctica, el 15 se obtiene de multiplicar el coeficiente 5 por el
exponente de la x.
Ejemplo 3: Calcular la derivada de y = 4x .
Solución: Por la propiedad de las igualdades (lo que se haga de un lado debe hacerse del otro para que
la igualdad se conserve), aplicando el...