Las Ecuaciones Diferenciales en Biología

UCM-MATH TRAINING 1.0

Mariángeles Gómez Flechoso

Las Ecuaciones Diferenciales en
Biología (II)

Véase, Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (I)

Uno de los aspectos importantes de la Biología es el estudio de
poblaciones de organismos con capacidad de reproducirse. Por ello,
resulta de especial interés saber cual es la variación de individuos de
la población, o sea, la variacióndel número de efectivos, en función
del tiempo. El estudio de estos procesos se denomina dinámica de
poblaciones. Para saber como evoluciona una determinada población
es necesario conocer o suponer cómo varía el número de efectivos de
dicha población (ecuación diferencial que rige el comportamiento del
número de efectivos) y tener datos del número de individuos que
componen dicha poblaciónen un instante determinado (condiciones
iniciales).
, que describe el número de efectivos, la
Si definimos una función,
variación del número de individuos de dicha población en función del
tiempo vendrá descrita por la derivada

. En muchas

ocasiones, la variación del número de efectivos se expresa en forma
relativa y, por lo tanto, la función que describe el comportamiento
será la tasade crecimiento per cápita o instantánea, esto es

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Esta tasa de crecimiento junto con las condiciones en un tiempo
inicial
, esto es,
, nos permite formular el problema
mediante una ecuación diferencial con condiciones iniciales

Vamos a describir en las secciones siguientes diversos modelos de
dinámica de poblaciones que resultan de especial interés enBiología.

Modelos de crecimiento no acotado: modelo de Malthus
Suponiendo una población en la cual la tasa de crecimiento es
constante,
, estaríamos ante un sistema en el cual el
crecimiento de la población será proporcional al número de
individuos. Esto corresponde a poblaciones en las cuales no existen
factores externos que alteren el crecimiento de la población. Estas
consideracionesunidas a unas condiciones iniciales en un tiempo
, nos llevan a un
inicial , que para simplificar consideraremos
problema de la forma

Resolviendo la ecuación diferencial, por el método de separación de
variables descrito en el capítulo anterior, tendremos que

(1)
Este modelo que describe el crecimiento exponencial de una
población se conoce como modelo de Malthus.
Dependiendo de que elparámetro
sea positivo o negativo
obtenemos poblaciones cuyo número de individuos crece o decrece,
respectivamente, de forma exponencial (Fig. 1).

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Figura 1: Modelo de Malthus con parámetro

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y población inicial

Modelos de crecimiento acotado
En general, no es razonable suponer un crecimiento de la población
como el descrito por el modelo de Malthus. Es másrealista introducir
algún factor externo que suponga un freno en el crecimiento, por
ejemplo, la existencia de depredadores que reduzcan el número de
individuos de una población, la limitación de los recursos alimenticios,
el confinamiento espacial de la población, etc.
Teniendo en cuenta estas limitaciones que pueden aparecen en el
crecimiento de una población, vamos a describir acontinuación una
serie de modelos cuyo crecimiento está acotado y que fueron
propuestos para describir sistemas más realistas que el descrito con
un modelo de Malthus.

Modelo logístico o de Verhulst
El modelo logístico fue propuesto por Pierre François Verhulst en
1838 para describir la evolución de una población cuyo crecimiento es
exponencial al principio (como en el caso del modelo de Malthus),pero que al cabo de un tiempo aparece la competición entre los
miembros de la población por los recursos existentes, frenando el
crecimiento y alcanzando una cota en el número de efectivos.
Este modelo describe bien poblaciones confinadas en un entorno en el
cual el alimento disponible está limitado. También sirve para
describir, por ejemplo, el crecimiento en el número de células de un...