Las ecuaciones

Solución general de la ecuación de segundo grado

La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales ocomplejas, dadas por la fórmula general:
,
donde el símbolo "±" indica que los dos valores
y
son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebraelemental.
Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:
Dos soluciones reales y diferentes si el discriminantees positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);
Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje x);
Dosnúmeros complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).
[editar]Deducción de la fórmula general
Relacionando la ecuación de segundo grado con un polinomiode segundo grado y las raíces del mismo (a su vez raíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dicha ecuación.
Sea dada la ecuación:

dondepara garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.
Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación:

Restamos el valor del términoindependiente en ambos miembros de la igualdad:

Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro izquierdo, se suma el cuadrado de la mitaddel coeficiente lineal, por lo que sumamos en ambos miembros de la ecuación:

Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho:

Hacemos la operación confracciones en el miembro derecho:

Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros:

Separamos las raíces de la fracción del lado derecho:

Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho:...