Las Fuerzas Morales

PROBLEMAS RESUELTOS
Hallar las Coordenadas del Vértice, del Foco, Longitud del Ancho Focal, la Ecuación de la Directriz y trazar la gráfica de las siguientes parábolas:
1.- y2 = 12x
SOLUCIÓN
Esta ecuación es de la forma y2 = 4px, por lo tanto:
V(0 ,0)
4p = 12
p = 
p = 3
Ancho Focal = 4p = 12
Foco = F(p , 0) = F(3 , 0)
Ecuación de la Directriz
x = -3
o
x + 3 = 0

2.- x2 = -8ySOLUCIÓN
Esta ecuación es de la forma x2 = -4py, por lo tanto:
V(0 , 0)
4p = 8
p = 
p = 2
Ancho Focal = 4p = 8
Foco = F(0 , -p) = F(0 , -2)
Ecuación de la Directriz:
y = 2
o 
y +2 = 0

3.- 4y2 = -28x
SOLUCIÓN
y2 = 
y2 = -7x
Esta ecuación es de la forma y2 = -4px, por lo tanto:
V(0 , 0)
4p = 7
p = 
Ancho Focal = 4p = 7
Foco = F(-p , 0) = F 
Ecuación de la Directriz:
x = p
x = o
x -  = 0

Hallar la ecuación de cada una de las parábolas siguientes con los datos indicados. Trazar la gráfica.
4.- Foco (6 , 0), Ecuación de la Directriz: x + 6 = 0
SOLUCIÓN
Aplicamos la condición de PF = PM = Ecuación de la Directriz, obteniendo :
 = X + p
Sustituyendo valores:
 = X + 6
Elevando al cuadrado y simplificando:
x2 - 12x + 36 + y2 = x2 +12x + 36
y2 - 12x = 12x
y2 =24x
Esta ecuación es de la forma y2 = 4px, por lo tanto:
V(0,0)
Ancho Focal = 4p = 24

5.- Foco (0 , 3), Ecuación de la Directriz y + 3 = 0
SOLUCIÓN
Aplicamos la condición PF = PM = Ecuación de la Directriz, obteniendo:
 = y + p
Sustituyendo valores:
 = y +3
Elevando al cuadrado:
x2 + (y - 3)2 = (y + 3)2
x2 + y2 - 6y + 9 = y2 + 6y + 9
x2 = 12y
Esta ecuación es de la forma x2 = 4px,por la tanto:
V(0 , 0)
Ancho Focal = 4p = 12

Hallar las Coordenadas del Vértice, Ancho Focal, la Ecuación de la Directriz y trazar la gráfica de las siguientes parábolas de vértice fuera del origen. Transformando la ecuación dada a la forma (y - k)2 =  4p(x -h) o (x - h)2 =  4p(y - k) según corresponda.
6.- y2 + 6y - 8x +7 = 0
SOLUCIÓN
a) La ecuación dada hay que transformarla a la forma (y- k)2 =  4p(x - h), por lo tanto:
(y + 3)2 = 8x + 9
NOTA: El tercer término del binomio (y + 3)2 se añade al segundo miembro para que el sistema no se altere.
(y + 3)2 = 8x + 9 + 7
(y + 3)2 = 8x + 16 
(y + 3)2 = 8(x + 2)
De la ecuación anterior obtenemos:
b) V(-3 , -2)
c) Ancho Focal = 4p = 8
Dado que 4p = 8
p = 2
d) F(h+p , k) = F(-2 + 2 , -3) = F(0 , -3)
e) Ecuación de la Directriz:x = h - p
x = -2 - 2
x = -4 
o
x + 4 = 0

7.- y2 + 4y + 4x + 12 = 0
SOLUCIÓN
La ecuación dada hay que darle la forma (y -k)2 =  4p(x - h)
(y + 2)2 = - 4x - 12 + 4
(y + 2)2 = - 4x -8
(y + 2)2 = - 4(x + 2)
El signo negativo en la ecuación obtenida indica que la parábola abre a la izquierda. De aquí se obtiene lo siguiente:
a) V(h , k) = V -2 , -2)
b) Ancho Focal = 4p = 4
Por lotanto 
p = 1
c) F(h - p , k)
F(-2 - 1, -2)
F(-3 , -2)
d) Ecuación de la Directriz:
x = h - (-p)
x = -2 - (-1)
x = -2 + 1
x = -1 o x + 1 = 0

3.- 5x2 + 5x + 2y -1 = 0
SOLUCIÓN
Dividiendo por 5, tenemos:
x2 + x +  -  = 0

Esta ecuación es de la forma (x -h )2 = - 4p(y - k), por lo tanto:
a) V(h , k) = V
b) Ancho Focal = 4p =  
Por lo tanto 
p =  =  = 0.1
c) F(h , k - p) = 
d)Ecuación de la Directriz
y = k + p
y = 1.1 + 0.1
y = 1.2
o
y - 1.2 = 0

9.- x2 - 4y - 2 = 0
SOLUCIÓN
x2 = 4y + 2
x2 = 
(x - 0)2 = 
Esta ecuación es de la forma (x - h)2 = 4p(y - k), por lo tanto:
a) V(h , k) = V
b) Ancho Focal = 4p = 4, por lo tanto p = 1
c) F(h , k - p) = F = F
d) Ecuación de la Directriz 
y = k - p
y = -  -1 
y = - 
y = -1.5 
o
y + 1.5 = 0
Obsérvese en lagráfica que el eje de simetría de la parábola coincide con el eje Y.

10.- y2 - 32y - 24x - 32 = 0
SOLUCIÓN
(y - 16)2 = 24x + 32 +256
(y - 16)2 = 24x + 288
(y - 16)2 = 24(x + 12)
Esta ecuación es de la forma (y - k)2 = 4p(x - h), por lo tanto:
a) V(h , k) = V(-12 , 16)
b) Ancho Focal = 4p = 24, por lo tanto p = 6
c) F(h + p , k) = F(-12 + 6 , 16) = F(-6 , 16)
d) Ecuación de la Directriz
x...