las leyes de kepler

Las leyes de Kepler son un ejemplo muy bueno de cómo se combinan diversas ramas de las matemáticas para poder llegar a una conclusión. En este caso se da la combinación de la geometría, el álgeba lineal, el cálculo diferencial e integral en una y varias variables, etc.
Como veremos más adelante, Kepler formuló sus leyes a partir de observaciones hechas por Tycho Brahe de la órbita de Marte, sinembargo, los recursos científicos de su época no le permitieron probar sus afirmaciones. Fue Newton quien lo hizo después de haber inventado el Cálculo Diferencial e Integral y de formular las Leyes de la Gravitación Universal.

3era ley de kepler:
Esta ley relaciona el tiempo que tarda un planeta en dar la vuelta al Sol (su período) con su distancia media al Sol. Así que conociendo una deestas dos cantidades, es posible conocer la otra.
En la siguiente tabla se muestran las distancias de los planetas al Sol (medidas en Unidades Astronómicas) y su período (medido en años terrestres).
Una Unidad Astronómica es la distancia media de la Tierra al Sol y vale aproximadamente 150,000,000 Km
Planeta
Distancia al Sol
Período
Mercurio
0.837
0.24
Venus
0.723
0.61
Tierra
1
1
Marte1.52
1.87
Júpiter
5.2
11.86
Saturno
9.54
29.47
Urano
19.18
84
Neptuno
30.06
164.81
Plutón
39.44
247.69

Los planetas se mueven con “velocidad areolar” constante. Así durante un tiempo cualquiera, el área “barrida” por el radio vector, por unidad de tiempo, es siempre la misma, cualesquiera que sea la posición del planeta en la elipse. Esto implica que, en los puntos de laelipse más alejados del Sol, la velocidad debe ser menor, y, en los puntos más próximos debe ser máxima.
 





 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Siendo las áreas barridas por el radio vector del planeta en el intervalo de tiempo t,  S1 e  S2  para las posiciones extremas del planeta en la órbita elíptica, tendremos que :
 

 
 Suponiendo que, las áreas barridas por el radiovector son triángulos , tendremos:
 
 
       de donde                 v1 . r1 = v2  . r2
 
   Si    r1 r2        entonces     v1  v2
 
3ª Ley de Kepler.- Los cuadrados de los periodos de los planetas, son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de la elipse. Considerando que, las órbitas de los planetas alrededor del Sol tienen muy poca excentricidad, podemos , aproximando,considerarlas circulares y, entonces, a mayor radio en la órbita descrita, mayor periodo de rotación, siendo la relación entre ambas magnitudes  T2/R3 = constante.
 
 
 
 







 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
   2.-Ley de gravitación universal.- La primera y la segunda ley de Newton implican que en su movimiento, el planeta bebe estar sometido a la acción de una fuerza central ( dirigidasiempre hacia el mismo punto: el Sol), ya que, la actuación de una fuerza de este tipo supone que, el momento cinético del planeta debe ser constante , por tanto la órbita debe ser plana y la “velocidad areolar” constante.
 
     Si la primera y la segunda ley de Kepler, nos indican que sobre los planetas debe estar actuando una fuerza central, dirigida siempre hacia el Sol, Newton razona que,debe actuar cómo centrípeta y, suponiendo en primera aproximación órbitas circulares, será igual a:  
 
                             que, utilizando la tercera ley de
 
Kepler                                 
 
Con lo que Newton , deduce que la fuerza que actúa sobre cada planeta debe ser inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al Sol. Queda pues clara la idea de laproporcionalidad inversa de la fuerza con el cuadrado de la distancia. Haciendo la hipótesis de que, en el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, actúa el mismo tipo de fuerza que hace caer cualquier masa en el campo gravitatorio terrestre, contrasta que, la aceleración centrípeta de la Luna y, la aceleración de cualquier masa al caer en la tierra están en la misma relación que la inversa del...