las leyes

Identidades trigonométricas
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Saltar a: navegación, búsqueda

Este artículo o sección sobre matemáticas necesita ser wikificado con un formato acorde a las convenciones de estilo.
Por favor, edítalo para que las cumpla. Mientras tanto, no elimines este aviso puesto el 9 de abril de 2011.
También puedes ayudar wikificando otros artículos.



Todas lasfunciones en  O.


Identidades trigonométricas fundamentales, y cómo convertir de una función trigonométrica a otra.
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).
Notación: se define sin2α como (sin α)2.Lo mismo se aplica a las demás funciones trigonométricas.
Índice
 [ocultar] 
1 Relaciones básicas
2 Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
3 Identidades del ángulo múltiple
3.1 Identidades del ángulo doble, triple y medio
3.2 Producto infinito de Euler
4 Identidades para la reducción de exponentes
5 Paso de producto a suma
5.1 Deducción de la identidad
6 Paso de suma a producto
7Paso de diferencia de cuadrados a producto
8 Eliminar seno y coseno
9 Funciones trigonométricas inversas
9.1 Composición de funciones trigonométricas
10 Fórmula de productos infinitos
11 Fórmula de Euler
12 Inicio del teorema del Coseno
13 Teorema del seno
13.1 Demostración
13.2 Aplicación
14 Definiciones exponenciales
15 Véase también
16 Referencias
17 Enlaces externos
[editar]Relaciones básicas
Relación pitagórica

Identidad de la razón

De estas dos identidades, se puede extrapolar la siguiente tabla. Sin embargo, nótese que estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ ó −). Por ejemplo, si la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque es posible que . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadranteestá θ.
Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
En términos de
















































De las definiciones de las funciones trigonométricas:


Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):




A veces es importante saber que cualquiercombinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo período pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:


Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipoconocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).
Por ejemplo, si se divide ambos miembros de "sen² + cos² = 1" por cos², se obtiene:

Ahora, dividiendo ambos miembros de la misma expresión por el sen², se obtiene:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:


Ejemplo 2:

Utilizando la identidad


Entonces:
(*)substituyendo en (*):

Realizando las operaciones necesarias se llega a:


Y queda demostrado.
El resto de las funciones se realiza de manera análoga.
[editar] Teoremas de la suma y diferencia de ángulos
Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de larecíproca correspondiente.



De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:





Para ángulos complementarios:






Para ángulos opuestos:






[editar] Identidades del ángulo múltiple
Si Tn es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

Fórmula de De Moivre:

[editar] Identidades del ángulo doble, triple y medio
Pueden obtenerse remplazándolo y por x...