Las matematicas

Un profesor (P) le pide a un alumno (A) que calcule la derivada de  en el punto . El estudiante, inteligente donde los haya, escribe el siguiente cociente de diferencias , tras ello,factoriza el numerador y lo reescribe como , cancela los , y obtiene como resultado , donde substituye para obtener finalmente , que es la respuseta correcta, por supuesto. Al profesor no le gustaesta solución y discute con su alumno como sigue:
P: Tu respuesta es correcta, pero ¿por qué no has utilizado la definición de la derivada como un límite? Estas estudiando un curso de cálculo,debes hacerlo como hay que hacerlo.
A: ¿Realmente hay que utilizar límites? Me parece una pérdida de tiempo, es mucho más fácil simplificar  y substituir . Me parece más elegante. it lookslike it works fine.
P: ¿Pero entiendes por qué funciona?
A: Hmmm, veamos. Creo que funciona porque el límite de para es , por tanto, en lugar de calcular el límite podemos introducirdirectamente en .
P: ¿Cómo se llaman las funciones a las que les puede subsituir directamente en lugar de calculando su límite en ?
A: ¿Función continua en ? Sí, ya me acuerdo.
P: ¡Correcto! Debessaber que los matemáticos diferenciaban polionomios, raíces cuadradas, y funciones trigonométricas en el s. XVII, mucho antes de que se inventaran los conceptos de función continua y loslímites  en el s. XIX. ¿Por qué no tratas de derivar a tu manera las siguientes funciones: , y ?
A: Vale, lo haré. Creo que seré capaz de lograrlo.
Estimado lector, si eres aficionado a lasmatemáticas, ¿te atreves a lograrlo?
Te ayudaré un poco. ¿Cómo podemos calcular la derivada de . Podemos escribir el cociente de diferencias y tratar de hacer que esta expresión tenga sentido bajo lasustitución . ¿Cómo lograrlo? Podemos reescribir el denominador como y factorizarlo como , de manera que , expresión que tiene sentido al hacer , resultando en la respuesta correcta .