las ondas

NTRODUCCIÓN
El estudio de las ondas superciales en un líquido connado en
un recipiente ha generado una gran cantidad de investiga-
ciones experimentales y teóricas [1, 2]. El análisis modal del
movimiento de la supercie libre es usualmente utilizado para
estimar las frecuencias naturales de oscilación y las corres-
pondientes formas superficiales de los modos de oscilación.
Elconocimiento de las frecuencias naturales es esencial en el
proceso de diseño de los contenedores cisternas y sistemas de
control activo en vehículos espaciales [1, 2].
Son posibles soluciones exactas solo en pocos casos especiales
como tanques cilíndricos de secciones transversales circular y
rectangular. Como ejemplo interesante tenemos la predicción
teórica de las frecuencias naturales cuandoel borde de la su-
perficie libre del líquido está fija al borde del tanque [3, 4].
Este interesante problema con ligaduras ha encontrado una
excelente concordancia entre teoría y experimento. De espe-
cial importancia ha resultado la concordancia entre los valo-
res calculados del coeficiente de amortiguamiento y la data
experimental, pues ha permitido aclarar la relevancia de losdiferentes mecanismos que contribuyen el amortiguamiento,
en particular, la disipación viscosa producida en el volumen
del líquido [5, 6, 7].
Al menos desde un punto de vista teórico sería interesante ex-
tender recientes resultados alcanzados en geometría circular
[8, 9, 10, 11].
Una extensión natural sería considerar la problemática en re-
cipientes con sección transversal elíptica. Sinembargo, aun el
problema de las ondas superciales estacionarias en un fluído
ideal donde la línea de contacto se mueve libremente por las
paredes laterales de un tanque elíptico, ha sido tratado pobre-
mente [12, 13, 14]. El propósito principal de este trabajo es
presentar una discusión completa de este problema. Este tra-
bajo está organizado como sigue. En la Sección 2 se presentan
lasecuaciones generales que describen las ondas estacionarias
en un fluido ideal en recipientes cilíndricos. Se consideran los
efectos de la tensión superficial. En la Sección 3 se da la solu-
ción exacta del problema de autovalores para tanques elípti-
cos, la cual involucra funciones de Mathieu cuyas propiedades
determinan la simetría de los patrones nodales. Los autova-
lores y frecuenciasnaturales son mostrados en función de la
excentricidad de la sección transversal del tanque. Finalmente,
en la Sección 4, presentamos las conclusiones del trabajo y sus
posibles extensiones.
FORMULACIÓN
Considerando un fluído ideal y bajo la aproximación de osci-
laciones pequeñas en la supercie libre del líquido, el potencial
de velocidad
que describe el flujo tridimensionalasociado
a la onda supercial satisface la ecuación de Laplace
(1)
Teniendo en cuenta los efectos de la tensión superficial y que
REVISTA CUBANA DE FÍSICA, Vol. 28, No. 2 (Dec. 2011)
ARTÍCULOS ORIGINALES (Ed. E. Altshuler)
100
Received 9/10/11. Accepted 22/10/11
ONDAS SUPERFICIALES EN UN LÍQUIDO
CON CONFINAMIENTO ELÍPTICO
SURFACE WAVES IN A LIQUID WITH ELLIPTICAL CONFINEMENT
ARTÍCULOSORIGINALES


REVISTA CUBANA DE FÍSICA, Vol. 28, No. 1 (Agosto 2011)
COORDENADAS
las paredes del tanque son impenetrables, el potencial satisfa-
ce las condiciones de frontera [15]
(2)
(3)
(4)
donde g es la aceleración gravitatoria, h la profundidad media
delfluido,
la densidad,
la frontera de la sección transversal
del tanque y n = (n1; n2; 0) un vector unitario perpendicular
alcontorno
(vea la Figura 1).
Figura 1.A la izquierda, vista frontal de un tanque elíptico. (b) Vista
superior del tanque. El dominio bidimensional
D
(sección transversal)
es limitado por la elipse
L
.
De la simetría axial del tanque y la ecuación (4) la solución es-
tacionaria para
puede ser investigada como
(5)
donde k es el número de onda y w la frecuencia angular, en
adelante la...