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PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS. TEOREMA DE THALES.

1. Teorema de Thales.

1.1. Segmentos proporcionales entre paralelas. [1]

Observa que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dosrectas secantes r y t.
Considera los segmentos AB y CD de la recta r. Se observa que CD = 2 · AB.
¿Qué relacion hay entre los segmentos correspondientes A’B’ y C’D’?
Observa que C’D’ es también doblede A’B’:
C’D’ = 2 · A’B’.
Observa también que con estos segmentos se puede escribir esta proporción:

CD / C’D’ = (2 · AB) / (2 · A’B’) = A’B’ / AB.

Esta proporcionalidad existente entre todoslos segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t:

AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'=CD / C'D'=k.

Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos quedeterminan en una de las secantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante.

1.2. División de un segmento en partes iguales.

Vamos a dividir el segmento AB en tressegmentos iguales.
1. Para ello se traza una semirrecta cualquiera con origen en A que forme con el seg­mento AB un ángulo menor de 180º.
2. Se elige un segmento u arbitrario se lleva sobre lasemirrecta que antes hemos trazado tres veces y el punto P, correspon­diente a la última división, se une con el punto B.
3. Finalmente se trazan paralelas a PB por los puntos de división M y N y seobtienen los puntos M' y N', que dividen el segmento AB en tres partes iguales.





1.3. Segmento cuarto proporcional.

Dados tres segmentos a, b y c se llama segmento cuarto proporcional de a,b y c a otro segmento x que cumple la siguiente proporción:
a / b = c / x.
Observa los segmentos a, b y c. Numéricamente podemos calcular el cuarto proporcional de la siguiente manera:
a / b =c / x; 5 / 4 = 2,5 / x; 5·x = 4 · 2,5; 5x = 10; x = 10 / 5 = 2. El cuarto proporcional es 2.

Observa cómo se determina gráficamente el segmento cuarto proporcional.
1. Se trazan dos semirrectas...