Latex en 15 sesiones

Aprende LATEX 2ε YA!

´
¿Como
podemos calcular el a´ rea de un c´ırculo?
Si nosotros dibujamos un c´ırculo, podemos dibujar un pol´ıgono regular de n lados inscrito en e´ l, como
se muestra enseguida:

A5

A6

n=5

LATEX 2ε

A7

n=6

n=7

A8

en 15 sesiones

A10

n=8

A9

Efra´ın Soto Apolinar
n=9

n = 10

´
Si hacemos que el numero
de lados del pol´ıgono regular se haga muy grande, el a´ rea delpol´ıgono se
parecer´a cada vez m´as al a´ rea del c´ırculo.
Ahora vamos a calcular el a´ rea del pol´ıgono de n lados. Para eso, vamos a dividirlo en tri´angulos con
base en los lados del pol´ıgono como se muestra en la siguiente figura.

···
b3

b2

···

Ahora vamos a calcular el a´ rea de un tri´angulo.
Dado que todos los tri´angulos que hemos dibujado tienen la
misma a´ rea, cuandomultipliquemos el a´ rea de un tri´angulo por
n obtendremos el a´ rea del pol´ıgono regular inscrito al c´ırculo.
Observa que el per´ımetro del pol´ıgono regular es muy parecido
al de la circunferencia. Cuando n es muy grande, la diferencia es
˜ que podemos considerarlas iguales.
muy pequena
Pero el per´ımetro del pol´ıgono es igual a la suma de las bases de
los tri´angulos que dibujamos a partir delpol´ıgono.

b1
bn
La altura de un tri´angulo es pr´acticamente igual al radio del c´ırculo. Entonces el a´ rea de cada tri´angulo
es: At = bi × r/2. Y la suma de las a´ reas de todos los tri´angulos es igual al a´ rea del pol´ıgono, y
aproximadamente igual al a´ rea del c´ırculo:
Ac ≈ A p

=
=

b1 · r b2 · r
bn · r
+
+···+
2
2
2
r
· (b1 + b2 + · · · + bn )
2

La suma de todas las bases de los tri´anguloses igual al per´ımetro del pol´ıgono inscrito al c´ırculo. Pero
ya dijimos que este per´ımetro es pr´acticamente igual al per´ımetro de la circunferencia, que es igual a
´
2πr. Sustituyendo esto en la formula
para calcular el a´ rea obtenemos:
Ac ≈ A p =

r
r
· (b1 + b2 + · · · + bn ) = · (2πr ) = πr2
2
2

´
Cuando el numero
n de lados del pol´ıgono es muy grande (tiende a infinito), el per´ımetrodel pol´ıgono
´
es igual a la longitud de la circunferencia y la formula
para calcular el a´ rea del c´ırculo es:
Ac = πr2

T ÉRMINOS DE USO
Derechos Reservados c 2010.
Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar.
Soto Apolinar, Efraín.
LATEX 2ε en 15 sesiones.
Primera edición.
Incluye índice.
México. 2010. qjg

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