Laurikat

´ Algebra y geometr´ ıa Algunas notas de clase

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3.1

Determinantes
Acerca de la definici´n de determinante o

Existen diversos modos de presentar el concepto de determinante. Para cada uno de ellos se requiere de unas bases conceptuales espec´ ıficas entre las que hay diferencias notables de complejidad. As´ puede darse una definici´n de ı, o determinante —de una matriz cuadrada— para laque se precisa tan solo de un buen manejo de las t´cnicas de inducci´n. En esta alternativa, la e o inducci´n se establece sobre el tama˜o n de la matriz: se define el determio n nante de cada matriz de tama˜o 1, mientras que para las de tama˜o n > 1 n n se describe en funci´n de las de tama˜o n − 1. Otra opci´n exige conocer o n o el grupo de permutaciones y algunas cuestiones intr´ ınsecas a ´l.Una tercera e podr´ ser establecida unicamente para lectores conocedores de la estructura ıa ´ de espacio vectorial y de las formas multilineales. Una definici´n sustentada o en este ultimo ambiente tiene luego la ventaja de que las propiedades carac´ ter´ ısticas del determinante son consustanciales a la propia propia definici´n o y no requieren del trabajo que conlleva una demostraci´n de lavalidez de las o mismas. Sin embargo, demostrar esas propiedades, tras una definici´n de deo terminante por inducci´n, precisa en cada caso, de una extensa demostraci´n o o por inducci´n. o Hemos elegido la segunda de las alternativas y por ello hacemos una incursi´n en el grupo de permutaciones. o

3.2

Grupos de permutaciones

Consideremos un conjunto no vac´ A y denotemos por SA al conjunto deıo todas las aplicaciones biyectivas de A en A. Tal conjunto es siempre no vac´ ıo ya que al menos contiene a la aplicaci´n 1A , la identidad sobre A. Es sabido o que • dos elementos cualesquiera de SA pueden componerse y el resultado es un nuevo elemento de SA • la composici´n es asociativa y, en general, no conmutativa o • cada elemento de SA es inversible y su inverso pertenece a SA

1

Enconsecuencia (f, g)

SA × SA −→ SA → f ◦g

◦

es una operaci´n —a la que nombraremos, indistintamente, como composici´n o o o como producto1 — y (SA , ◦) es un grupo que, en general, ser´ no conmua tativo. A este grupo se le denomina el grupo de las permutaciones de A, aunque a veces se reserva este nombre para el caso en el que el conjunto A es finito y que ser´ el que consideraremos en loque sigue. M´s concretamente, se a a supondr´ que A tiene n elementos que designaremos por 1, 2, . . . , n , y se a llamar´n permutaciones de n elementos a las aplicaciones biyectivas de A en a A. Se escribir´ Sn en lugar de SA . a Debe observarse que el n´mero de elementos de Sn coincide con el de las u permutaciones de n elementos, es decir, con el n´mero de ordenaciones que u pueden hacerse con nelementos y que es n!, el factorial de n. Si σ ∈ Sn , como aplicaci´n que es, quedar´ determinada en el momento o a en que se fijen los elementos σ(1), σ(2), . . . , σ(n), es decir, las im´genes de a 1, 2, . . . , n. Un modo sencillo y pr´ctico de expresar lo anterior se hace mea diante la notaci´n o 1 2 ... n σ(1) σ(2) . . . σ(n) Obs´rvese que al ser σ una aplicaci´n biyectiva, σ(i) = σ(j) ⇔ i =j y e o por tanto {σ(1), σ(2), . . . , σ(n)} = {1, 2, . . . , n}. Deber´ convencerse el lector de las facilidades que proporciona la anterior ıa notaci´n a la hora de describir la operaci´n ◦ de Sn : o o τ ◦σ = 1 2 ... n τ (1) τ (2) . . . τ (n) ◦ 1 2 ... n σ(1) σ(2) . . . σ(n) =

1 2 ... n τ (σ(1)) τ (σ(2)) . . . τ (σ(n)) Concretamente, si σ y τ son las permutaciones del grupo S5 definidas me1 23 4 5 1 2 3 4 5 diante σ = y τ = , entonces τ ◦ σ 2 4 1 3 5 1 3 4 5 2 es
1

Incluso es usual omitir el s´ ımbolo ◦ en el producto f ◦ g y escribir f g.

2

1 2 3 4 5 1 3 4 5 2

◦

1 2 3 4 5 2 4 1 3 5

=

1 2 3 4 5 3 5 1 4 2

resultado que se ha conseguido tras circular por las permutaciones σ y τ con argumentos del tipo: como σ transforma 1 en 2 y τ transforma 2 en 3, entonces...