Lazaro

UNIDAD 1 Números reales
1. Ampliación teórica. Demostración de las propiedades de los logaritmos
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Propiedad 1
Dos números distintos tienen logaritmos distintos. Es decir: Si P ? Q,entonces loga P ? loga Q. Además, si a > 1 y P < Q, loga P < loga Q. Demostración Hacemos: loga P = p ÄÄ8 P = a p ° Si P ? Q 8 a p ? a q 8 p ? q 8 loga P ? loga Q loga Q = q ÄÄ8 Q = a q ¢ £ Si tenemosen cuenta que la función y = loga x es creciente para a > 1, es obvia tanto esta propiedad como la siguiente: Si P < Q 8 loga P < loga Q

Propiedad 4
El logaritmo de un producto es igual a la sumade los logaritmos de los factores: loga (P · Q) = loga P + loga Q ☛ Indicación:
loga P = p ÄÄÄÄ8 P = a p ° ¢ ò P · Q = ap + q loga Q = q ÄÄÄÄ8 Q = a q £ Toma logaritmos de base a en esta igualdad ysustituye p y q. ♦

Demostración loga (P · Q) = loga a p + q 8 loga (P · Q) = p + q 8 loga (P · Q) = loga P + loga Q

Propiedad 5
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendomenos el logaritmo del divisor: P loga = loga P – loga Q Q

( )

Demostración Hacemos: loga P = p 8 P = a p ° § § ¢ § q§ loga Q = q 8 Q = a £ Dividiendo 8 loga ap P = q = ap – q a Q

P P P = logaa p – q 8 loga = p – q 8 loga = loga P – loga Q Q Q Q

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Propiedad 6
El logaritmo deuna potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base: loga P n = n · loga P ☛ Indicación
Haz loga P = p 8 a p = P, eleva a n los dos miembros de la igualdad y toma loga ♦Demostración Hacemos: loga P = p 8 a p = P Elevando a n : a np = P n 8 loga a np = loga P n

n p = loga P n 8 n loga P = loga P n 8 loga P n = n loga P

Propiedad 7
El logaritmo de una raíz esigual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz: loga √P = ☛ Indicación
Recuerda que
n n

loga P n

√P = p 1/n y repite el mismo proceso que en la propiedad anterior. ♦...