lazo de mecanismos

Movilidad Mediante las Ecuaciones de Clausura de Lazos.
Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez
Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica.
Universidad de Guanajuato, F. I. M. E. E.
Calle Tampico No. 912, Col. Bellavista.
CP 36730, Salamanca, Gto., M´exico
Tel. +52-464-6480911, Fax: +52-464-6472400.
E-mail: jrico@salamanca.ugto.mx

1

Introducci´
on.

Otro importante criterio de movilidad de eslabonamientos, sebasa en el n´
umero de variables necesarias para determinar la posici´
on del eslabonamiento as´ı como las ecuaciones que restringen esas
variables, es debido a Paul y se estudia a continuaci´
on. El m´etodo requiere de formular las ecuaciones vectoriales de clausura del eslabonamiento cuya movilidad se desea determinar, descomponer
las ecuaciones vectoriales de clausura en sus componentesescalares, que se convierten en las ecuaciones escalares de clausura, y determinar cuantas de ellas son linealmente independientes. Puesto
que las ecuaciones escalares de clausura son, tambi´en, el punto de partida para resolver el an´alisis
de posici´on de mecanismos planos, el estudio de la movilidad de cadenas cinem´
aticas mediante
ecuaciones de clausura permite adelantar el estudio del an´alisis deposici´on de mecanismos planos.

2

Ejemplo 1. Mecanismo Plano de Cuatro Barras.

Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la figura 1. La posici´
on del eslabonamiento queda u
´ nicamente determinada si se conocen los ´angulos θ2 , θ3 , θ4 . Estas variables
cinem´aticas se conocen tambi´en como coordenadas Lagrangianas, ´o coordenadas generalizadas. Es
importante reconocer queestas variables no son independientes sino que est´an obligadas a satisfacer
las ecuaciones de clausura del lazo o lazos del eslabonamiento.
En el caso particular del mecanismo plano de cuatro barras la ecuaci´
on de clausura en forma
vectorial es
(1)
a2 + a3 = a1 + a4
y las ecuaciones escalares resultantes son
a2 Cos θ2 + a3 Cos θ3

=

a1 Cos θ1 + a4 Cos θ4

a2 Sen θ2 + a3 Sen θ3

=

a1 Sen θ1 + a4Sen θ4

(2)

sustituyendo θ1 = 0◦ , y reagrupando los t´erminos las anteriores ecuaciones pueden escribirse como
f 1 ( θ 2 , θ3 , θ4 )
f 2 ( θ 2 , θ3 , θ4 )

= a2 Cos θ2 + a3 Cos θ3 − a1 − a4 Cos θ4 = 0
= a2 Sen θ2 + a3 Sen θ3 − a4 Sen θ4 = 0

(3)

Entonces, el n´
umero de grados de libertad, F , ser´a el n´
umero de coordenadas Lagrangianas o
generalizadas, C, menos el n´
umero de ecuacionesindependientes E. Es decir
F =C −E
1

(4)

Figure 1: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Cuatro Barras.
En particular, para el mecanismo plano de cuatro barras,
F = 3 − 2 = 1.

(5)

Este resultado comprueba el resultado obtenido previamente mediante el criterio de Gr¨
ubler.

3

Ejemplo 2. Mecanismo de Biela Manivela Corredera.

Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 2.La posici´
on del eslabonamiento
queda u
´ nicamente determinada si se conocen los ´angulos θ2 , θ3 , y la coordenada s. Debe notarse
ametros constantes.
que las dimensiones a2 , a3 , e, θe , θs son par´

Figure 2: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo de Biela Manivela Corredera.
Las ecuaci´on de clausura, en forma vectorial, est´a dada por
a2 = e + s + a3 .

2

(6)

Las correspondientesecuaciones escalares de clausura son
f1 (θ2 , θ3 , s)
f2 (θ2 , θ3 , s)

= a2 Cos θ2 − s − a3 Cos θ3 = 0
= a2 Sen θ2 − e − a3 Sen θ3 = 0

(7)

Entonces, el n´
umero de grados de libertad ser´a
F =C −E =3−2=1

(8)

De nueva cuenta, el empleo del criterio de Gr¨
ubler corrobora el resultado.

4

Ejemplo 3. Mecanismo Plano de dos Lazos.

Considere el mecanismo de dos lazos mostrado en la figura 3. La posici´on del eslabonamiento
queda u
´ nicamente determinada si se conocen los ´angulos θ2 , θ3 , θ4 , θ5 , θ6 . Debe notarse que las
dimensiones a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , b1 , b2 , θ1 , δ y γ son par´
ametros constantes.

Figure 3: Ecuaciones Vectoriales en un Mecanismo Plano de Dos Lazos.
Las ecuaciones de clausura, en forma vectorial, son
a2 + a3

=

a1 + a4

a2 + b 2 + a6

=

a1 + b 1 + a5...