LdeM Reporte 07

Laboratorio de Mecánica
Reporte de la práctica 7

16 de mayo de 2015

1

Marco Teórico:
Momento de una fuerza o torque - El torque (τ ) o momento de una fuerza F que actúa sobre
una partícula en un punto P, cuya posición en torno al origen O del marco de referencia está dada por
el vector posición r se define a través de la expresión
τ =r×F

(1)

Es una magnitud vectorial, cuyo módulo es iguala
τ = r · F · sen θ

(2)

Momento de inercia - La cantidad
mi ri2 se llama momento de inercia o inercia de rotación del
cuerpo (I) con respecto al eje de rotación particular
I=

mi ri2

(3)

El momento de inercia de un cuerpo depende del eje en torno al cual está girando, así como de la
manera en que está distribuida su masa, y desempeña el papel de masa en las ecuaciones rotacionales
Para cuerposcontinuos
I=

r2 dm

(4)

Habitualmente, es muy común utilizar el Momento de Inercia de las siguientes figuras geométricas:
Una varilla, un disco, un cilindro, una placa rectangular, un disco y una esfera (existen una multitud más de figuras geométricas, sin embargo, para el presente experimento solo nos serán útiles las
listadas aquí); por lo mismo, vamos a mostrar las ecuaciones necesarias paracalcular el Momento
de Inercia de estas figuras geométricas (en el caso de requerir la forma de deducir cada una de estas
ecuaciones, se pueden referir a [2])
Momento de inercia de una varilla - Para calcular el momento de inercia de una varilla de masa
M y longitud L respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varillacomprendido entre x y x + dx es
dm =

M
dx
L

(5)

sustituyendo en la ecuación (4), el momento de inercia de la varilla es
L/2

I=

x2 dm =

x2
−L/2

M
1
dx =
ML2
L
12

(6)

Momento de inercia de un disco - Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa
M y radio R respecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x deleje de rotación. El elemento es un anillo de radio x
y de anchura dx . Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectángulo de longitud
2πx y anchura dx , cuya masa es
dm =

2M
M
2π x dx = 2 x dx
πR2
R

(7)

El momento de inercia del disco es
R

I=

x2 dm =
0

1
2M 3
x dx = MR2
2
R
2

(8)

Momento de inercia de un cilindro - Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindrode masa
M, radio R y longitud L respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa cilíndrica
cuyo radio interior es x , exterior x + dx , y de longitud L , tal como se muestra en la figura. La
masa dx que contiene esta capa es
dm =

M
2M
2π xL dx = 2 x dx
2
πR L
R

(9)

El momento de inercia del cilindro e
R

x2 dm =

I=

0

2M 3
1
x dx =MR2
2
R
2

(10)

Momento de inercia de una esfera - Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa
M y radio R respecto de uno de sus diámetros

Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz . El momento de inercia de cada uno de
los discos elementales es
1 2
x dm
2

(11)

La masa de cada uno de los discos es
dm =

M
4
3
3 πR

πx2 dz =

3M 2
x dz
4R3

(12)

El momento deinercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos
elementales.
I=

1
2

x2 dm =

1
2

R
−R

3M 4
3M
x dz =
3
4R
8R3

R

x4 dz

(13)

−R

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z . Como vemos en la figura
x2 + z2 = R2
I=

3M
8R3

R

(R2 − z2 )2 dz =
−R

3M
8R3

R

2
(R4 − 2R2 z2 + z4 ) dz = MR2
5
−R

(14)

Momento de inercia de un cilindro -Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de
masa M , radio R y longitud L , respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por
su centro.

Dividimos el cilindro en discos de radio R y espesor dx . El momento de inercia de cada uno de
los discos respecto de uno de sus diámetros es
1 2
1
M
M 2
R dm = R2
dx =
R dx
2
4
4
πR L
4L

(15)

Aplicando el teorema de Steiner (ver...