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Álgebra y Geometría Analítica – Cónicas: Circunferencia – 2014

CIRCUNFERENCIA
Definición

Llamamos circunferencia de centro C (h; k ) y radio r > 0 al conjunto de puntos del plano
P ( x; y ) que se encuentran a una distancia r del punto C (h; k ) .

Es decir:



;

=

;

∈

/

;

=

De acuerdo con la figura completar:

P( x; y ) ∈ Circunferencia(C , r ) ⇔ Dist(C , P) = r ⇒ CP = r ⇒

(x − h)2 + (y − k )2

=r

Elevando al cuadrado ambos miembros, se obtiene: ………………………………………
La expresión que obtuvo se denomina:
Ecuación Cartesiana o Explícita de la circunferencia de centro
−
+ !−
=

;

y radio

Ejemplo 1: Hallar una ecuación de la circunferencia con centro en el punto (3;−2) y

radio 5.
Solución: Reemplazamos los datos en la ecuacióncartesiana de la circunferencia:
(x − h)2 + ( y − k)2 = r 2

Entonces, reemplazando: ( x − 3) + ( y − (−2)) = 52 ⇒
2

Ejemplo 2:

2

−3

+

+2

= 25

Dada la circunferencia con centro en ( 2 , − 1) y radio 2 , y la familia de rectas y = − x + b ,
hallar e interpretar gráficamente:
a) La ecuación de la circunferencia.
b) La intersección entre la circunferencia y la recta dela familia de rectas que contiene
al origen.
1

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c) Los valores del parámetro b, para los cuales la recta corta a la circunferencia en un
solo punto (se la denomina recta tangente a la circunferencia).
d) Los valores de b, para los cuales la recta y la circunferencia no se cortan.
e) Los valores de b para los cuales la rectay la circunferencia tienen dos puntos en
común.
Solución:
a) Ecuación de la circunferencia.
Dado que h = 2 , k = −1 y r = 2 , utilizando la ecuación cartesiana de la

circunferencia: (x − h)2 + ( y − k)2 = r 2 la ecuación buscada es: (x − 2) 2 + ( y − (−1))2 = 2

2

Simplificando, resulta que: (x − 2) 2 + ( y +1) 2 = 2
b) En este ejercicio necesitamos hallar, si existen, los puntos quepertenecen a la
circunferencia hallada en el ítem (a) y la recta y = − x (puesto que si la recta pasa por
el origen de coordenadas entonces & = 0)
Esto significa los pares ( x , y ) que verifican simultáneamente las ecuaciones:

(x − 2)2 + ( y +1) 2 = 2 e y = − x
Entonces buscamos las soluciones, si existen, del sistema no lineal:
(x − 2) 2 + ( y +1) 2 = 2

y = −x
Para resolverlo seutiliza el método de sustitución (se sustituye y de la segunda
ecuación en la primera)
3+ 3
x1 =
2 .
(x − 2) 2 + (−x + 1)2 = 2 ⇒ x 2 − 4x + 4 + x 2 − 2x + 1 = 2 ⇒ 2x 2 − 6x + 3 = 0 ⇒
3− 3
x2 =
2
3+ 3 3+ 3 
 3− 3 −3+ 3 
 y P2 = 

Luego los puntos intersección son P1 = 
;−
 2
 2 ;

2 
2




Gráficamente:

2

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c) Queremos hallar los valores del parámetro b (ordenada al origen) para los cuales la
recta corta a la circunferencia en un solo punto (Cuando esto sucede se dice que la recta
tangente a la circunferencia).
Al igual que el caso anterior se deben determinar los pares ( x , y ) que verifiquen
simultáneamente (x − 2)2 + ( y +1) 2 = 2 e y = − x + b

(x − 2) 2 + ( y +1) 2 = 2Se forma entonces el sistema no lineal de ecuaciones 
y = −x + b
Sustituyendo y de la segunda ecuación en la primera
( x − 2) 2 + (− x + b + 1) 2 = 2 ⇒ x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 2(b + 1) x + (b + 1) 2 − 2 = 0 ⇒

⇒ 2 x 2 − (6 + 2b) x + b 2 + 2b + 3 = 0 ⇒ x =

6 + 2b ± (−(6 + 2b)) 2 − 4(2)(b 2 + 2b + 3)
2.(2)

6 + 2b ± − 4b2 + 8b +12 3 + b ± − b2 + 2b + 3
⇒x =
=
4
2
Para determinar elvalor del parámetro b para el cual el punto de intersección es único,
se plantea
iguales).

− b 2 + 2b + 3 = 0 (caso en el cual una ecuación cuadrática tiene dos raíces

b1 = −1
Resolviendo ésta última se tiene − b 2 + 2b + 3 = 0 ⇒ 
.
 b2 = 3
Luego las rectas tangentes serán r1 : y = − x − 1 y r2 : y = − x + 3 .
Los puntos de tangencia serán:
3 + ( −1) ± 0
= 1, y = −2 . Luego P1...