Lec11

Lecci´
on 11

Ecuaciones diferenciales de segundo orden

11.1.

Introducci´
on

Posiblemente el ejemplo m´as caracter´ıstico de fen´omeno f´ısico cuyo modelizaci´on conduce
a una ecuaci´on lineal de segundo orden es el movimiento amortiguado de una masa m
unida mediante un muelle el´astico a una pared como la que se muestra en la Figura 11.1:
Al aplicar a la masa unida al resorte una fuerza F (t)hacia la izquierda, de forma que el
b

k

m

Figura 11.1: Movimiento amortiguado de una masa unida a un muelle el´astico.
muelle se comprima, ´este reacciona con una fuerza de igual magnitud hacia la derecha que
produce un desplazamiento de la masa en dicho sentido hasta hacer tope con un pieza el´astica
que amortigua dicho desplazamiento hasta que la masa se para. En ese instante el muelle
seencontrar´a extendido respecto de su posici´on de reposo por lo que producir´a un nuevo
desplazamiento de la masa hacia la izquierda, provocando una nueva compresi´on del muelle,
y as´ı sucesivamente. La amortiguaci´on del movimiento del resorte se puede producir no s´olo
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Ecuaciones diferenciales de segundo orden

por contacto con otra pieza el´astica sino tambi´en por rozamiento con elmedio, o cualquier
otra causa.
Suponiendo que la fuerza de amortiguaci´on es proporcional a la velocidad: bx (t) y que k,
una constante, mide la rigidez del muelle (que depende del material del que est´e hecho), la
segunda Ley de Newton conduce a la siguiente ecuaci´on que sirve de modelo para el estudio
de este fen´omeno f´ısico:
mx (t) + bx (t) + kx(t) = F (t)
(11.1)
Esta ecuaci´on junto a lascondiciones iniciales: x(0) = x0 (posici´on de la masa en el
momento inicial) y x (0) = v0 (velocidad de la masa en el momento inicial), que podr´ıan
ser ambas cero si la masa est´a en reposo en el momento inicial, forman un Problema de
Condiciones Iniciales que lo escribiremos as´ı:
mx (t) + bx (t) + kx(t) = F (t)
x(0) = x0 , x (0) = v0
El objetivo de este cap´ıtulo es estudiar este tipo deecuaciones diferenciales de segundo
orden. En particular la ecuaci´on (11.1) es una ecuaci´on diferencial de segundo orden lineal
no homog´enea y de coeficientes constantes. Pero antes de llegar a estas ecuaciones analizaremos otras ecuaciones de segundo orden que pueden reducirse, mediante simples cambios
de varaibles, a ecuaciones de primer orden.

11.2.

Ecuaciones de Segundo Orden

Vimos en laprimera Lecci´on que las ecuaciones de orden n, escritas en forma normal son
las del siguiente tipo:
x(n) = f (t, x, x , . . . , x(n−1) ).
S´olo estudiaremos aqu´ı ecuaciones de segundo orden:
x = f (t, x, x )

(11.2)

Tal y como hemos dicho en la introducci´on, entre todas ellas la m´as famosa, sin duda, es la
segunda ley del movimiento de Newton:
mx (t) = F (t, x, x )
que rige el movimiento de unapart´ıcula de masa m que se mueve por la acci´on de una fuerza
F . En esta ecuaci´on la fuerza depende del tiempo t, de la posici´on x(t) de la part´ıcula y de la

11.2 Ecuaciones de Segundo Orden

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velocidad a la que se mueve x (t). Si, adem´as, a la ecuaci´on (11.2) se le imponen condiciones
iniciales sobre x(t) de la forma
x(t0 ) = x0 ,

x (t0 ) = x0

entonces tenemos un Problema deCondiciones iniciales
x = F (t, x, x )
x(t0 ) = x0 , x (t0 ) = x0 .
Las ecuaciones de segundo orden son muy dif´ıciles de resolver anal´ıticamente, salvo en
casos muy excepcionales. Claro que esto no deber´ıa sorprendernos despu´es de nuestra experiencia con las ecuaciones de primer orden, donde vimos que s´olo unas poquitas son realmente
manejables. En realidad nuestro estudio se referir´a exclusivamentea ecuaciones lineales. Pero
hay unas pocas ecuaciones de segundo orden, que no son lineales, y que se pueden reducir a
ecuaciones de primer orden: las ecuaciones en las que no aparece una de las dos varaibles.

11.2.1.

Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente

Consideremos ecuaciones de segundo orden de la forma
x = f (t, x )
donde la variable dependiente x no aparece en la...