Leccion_6

6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES

E J E R C I C I O S

P R O P U E S T O S

x 2 ؊ 7x ؉ 10
6.1 Halla el valor numérico de la fracción —
— para los valores 2, 0 y 4.
x 2 ؊ 6x ؉ 8
22 Ϫ 7 и 2 ϩ 10
0
Para 2: ᎏ
ᎏ ϭ ᎏᎏ. Valor indeterminado.
2
0
2 Ϫ6и2ϩ8
02 Ϫ 7 и 0 ϩ 10
10
5
ᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ.
Para 0: ᎏ
8
4
02 Ϫ 6 и 0 ϩ 8
42 Ϫ 7 и 4 ϩ 10
Ϫ2
ᎏ ϭ ᎏᎏ. No existe valor numérico.
Para 4: ᎏ
2
0
4 Ϫ6и4ϩ8

6.2Indica si estas fracciones tienen valor numérico para los valores que anulan el denominador.
x 2 ؊ 5x ؉ 6
a) ——
x؊4

x2 ؊ 9
b) ——
x؊3

a) El denominador se anula para x ϭ 4. Para este valor, el numerador vale 42 Ϫ 5 и 4 ϩ 6 ϭ 2. No existe valor numérico para
x ϭ 4.
b) El denominador se anula para x ϭ 3. Para este valor, el numerador vale 32 Ϫ 9 ϭ 0. Así que el valor de la fracción algebraica para xϭ 3 es indeterminado.

x؉1
x2 ؊ 1
6.3 Comprueba si son equivalentes las siguientes fracciones: —— y —
—.
x
x2 ؊ x
Dos fracciones son equivalentes si el producto de medios es igual al producto de extremos. De modo que se tiene que cumplir
que (x ϩ 1)(x 2 Ϫ x) ϭ x(x 2 Ϫ 1).
(x ϩ 1)(x 2 Ϫ x) ϭ x 3 Ϫ x 2 ϩ x 2 Ϫ x ϭ x 3 Ϫ x
x(x 2 Ϫ 1) ϭ x 3 Ϫ x
Las fracciones dadas son equivalentes.

x؉1
6.4 Escribetres fracciones equivalentes a —
—.
x2 ؊ 1
xϩ1
1
x
xϩ3
xϩ1
ᎏ
ᎏ ϭ ᎏᎏ es equivalente a ᎏᎏ, ᎏ
ᎏ, ᎏᎏ
x Ϫ 1 x 2 Ϫ x (x Ϫ 1)(x ϩ 3)
x2 Ϫ 1
(x ϩ 1)(x Ϫ 1)

6.5 Simplifica las siguientes fracciones.
x2 ؉ 1
—
a) —
x4 ؊ 1

x 2 ؊ 6x ؉ 5
—
b) —
x 2 ؊ 8x ؉ 15

x2 ϩ 1
x2 ϩ 1
1
a) ᎏ
ᎏ
ϭ
ᎏ
ᎏ
ϭᎏ
ᎏ
2
2
2
4
x Ϫ1
(x ϩ 1)(x Ϫ 1)
x Ϫ1
(x Ϫ 1)(x Ϫ 5)
xϪ1
x 2 Ϫ 6x ϩ 5
b) Factorizando cada una de sus partes tenemos que ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ.
xϪ3
(x Ϫ 3)(x Ϫ 5)
x 2 Ϫ 8x ϩ 15

6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES
x3 ؊ 1
6.6 Simplifica —
y calcula el valor numérico para x ‫ ؍‬2.
x2 ؊ 1
(x Ϫ 1)(x 2 ϩ x Ϫ 1)
x3 Ϫ 1
x2 ϩ x ϩ 1
Factorizamos numerador y denominador: ᎏ
ᎏᎏᎏ
ᎏ
ϭ
ϭ
ᎏ
ᎏ.
xϩ1
(x Ϫ 1)(x ϩ 1)
x2 Ϫ 1
22 ϩ 2 ϩ 1
7
Si x ϭ 2, ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
2ϩ1
3
6.7 Opera estas fracciones.
7x
6x ؉ 1
—؉—
—
a) —
x3 ؉ 5
x3 ؉ 5

3xy
1 ؊ 2xy
b) —— ؊——
x؊y
x؊y

7x
6x ϩ 1
7x ϩ 6x ϩ 1
13x ϩ 1
a) ᎏ
ᎏϩᎏ
ᎏϭᎏ
ᎏϭᎏ
ᎏ
x3 ϩ 5
x3 ϩ 5
x3 ϩ 5
x3 ϩ 5

3xy
1 Ϫ 2xy
3xy Ϫ (1 ϩ 2xy)
xy Ϫ 1
b) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ
xϪy
xϪy
xϪy
xϪy

6.8 Efectúa las siguientes operaciones.
7x ؉ 3
5x
—
a) —— ؉ —
x؊4
x 2 ؊ 16

2x
x؉2
b) —— ؊ ——
x؊5
x؊1

(7x ϩ 3)(x ϩ 4)
5x
5x
7x ϩ 3
7x 2 ϩ 36x ϩ 12
a) ᎏᎏ ϩ ᎏ
ᎏ
ϭ
ᎏ
ᎏ
ϩ
ᎏ
ᎏ
ϭ
ᎏ
ᎏ
xϪ4
(x Ϫ 4)(x ϩ 4)
x 2 Ϫ 16
x 2 Ϫ 16
x 2 Ϫ 16
2x 2 Ϫ 2x Ϫ x 2ϩ 3x ϩ 10
2x(x Ϫ 1) Ϫ (x ϩ 2)(x Ϫ 5)
2x
xϩ2
x 2 ϩ x ϩ 10
b) ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏ
ϭ
ᎏ
ᎏ
xϪ5
xϪ1
(x Ϫ 5)(x Ϫ 1)
x 2 Ϫ 6x ϩ 5
x 2 Ϫ 6x ϩ 5
1
1
4
6.9 Realiza estas operaciones: —— ؊ —— ؉ —
—.
x؉2
x؊2
x2 ؊ 4
(x Ϫ 2) Ϫ (x ϩ 2) ϩ 4
4
1
1
ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϩ ᎏ
ᎏ ϭ ᎏᎏᎏ
2
xϩ2
xϪ2
x Ϫ4
x2 Ϫ 4
x؉1
x
2
6.10 Realiza las siguientes operaciones con fracciones: —— ؉ —— ؉ ——.
x؊2
x؊1
x؉2
x(x ϩ 2)(x Ϫ 2) ϩ 2(x Ϫ 1)(x Ϫ 2) Ϫ(x ϩ 1)(x Ϫ 1)(x ϩ 2)
x
2
xϩ1
Ϫ9x ϩ 6
ᎏᎏ ϩ ᎏᎏ Ϫ ᎏᎏ ϭ ᎏᎏᎏᎏᎏᎏᎏ ϭ ᎏ
ᎏ
xϪ1
xϩ2
xϪ2
x 3 Ϫ x 2 Ϫ 4x ϩ 4
(x Ϫ 1)(x ϩ 2)(x Ϫ 2)
6.11 Calcula estos productos.
x؉1 x؊1
a) —— ؒ ——
x
x؉2

2x ؊ 1 x 2 ؊ x ؉ 1
—
b) —— ؒ —
x؊3
2x 2 ؊ 4

(x ϩ 1)(x Ϫ 1)
x2 Ϫ 1
xϩ1 xϪ1
a) ᎏᎏ и ᎏᎏ ϭ ᎏᎏ ϭ ᎏ
ᎏ
x
xϩ2
x(x ϩ 2)
x 2 ϩ 2x
(2x Ϫ 1)(x 2 Ϫ x ϩ 1)
2x 3 Ϫ 3x 2 ϩ 3x ϩ 1
2x Ϫ 1 x 2 Ϫ x ϩ 1
ᎏᎏᎏ
ᎏᎏᎏ
b) ᎏᎏ и ᎏ
ᎏ
ϭ
ϭ
xϪ3
(x Ϫ 3)(2x 2 Ϫ4)
2x 3 Ϫ 6x 2 Ϫ 4x ϩ 12
2x 2 Ϫ 4
x2 ؊ 1
x2
6.12 Efectúa el producto y simplifica el resultado: —— ؒ ——.
x؉1
x3
x 2(x 2 Ϫ 1)
x 2(x ϩ 1)(x Ϫ 1)
x2
x2 Ϫ 1
xϪ1
ᎏᎏ и ᎏᎏ
ϭ ᎏᎏ
ϭ ᎏᎏ
ϭ ᎏᎏ
3
3
xϩ1
x
(x ϩ 1)x
(x ϩ 1)x 3
x

6 EXPRESIONES FRACCIONARIAS Y RADICALES

6.13 Opera estos cocientes.
4x ؉ 7
3x ؉ 1
a) ——
Ϻ ——
x2
x؉5

5x ؊ 1
x2 ؊ 1
—
b) —— Ϻ —
3x ؊ 1
2x 2 ؉ 3

(4x ϩ 7)(x ϩ 5)
4x ϩ 7 3x ϩ 1
4x ϩ 7 x ϩ5
4x 2 ϩ 27x ϩ 35
a) ᎏᎏ
Ϻ
ᎏ
ᎏ
ϭ
ᎏ
ᎏ
и
ᎏ
ᎏ
ϭ
ᎏ
ᎏ
ϭ
ᎏ
ᎏ
xϩ5
3x ϩ 1
x 2(3x ϩ 1)
3x 3 ϩ x 2
x2
x2
10x 3 Ϫ 2x 2 ϩ 15x Ϫ 3
(5x Ϫ 1)(2x 2 ϩ 3)
5x Ϫ 1
x2 Ϫ 1
5x Ϫ 1 2x 2 ϩ 3
b) ᎏᎏ Ϻ ᎏ
ᎏ ϭ ᎏᎏ и ᎏ
ᎏ ϭ ᎏᎏ
ϭ ᎏᎏᎏ
2
2
2
3x Ϫ1
3x Ϫ 1 x Ϫ 1
3x 3 Ϫ x 2 Ϫ 3x ϩ 1
(3x Ϫ 1)(x Ϫ 1)
2x ϩ 3
x
12x 2
6.14 Calcula este cociente y simplifica el resultado: —
— Ϻ ——
2
x ؊ 36
x؊6
x(x Ϫ 6)
x
12x 2
x
xϪ6
1
ᎏ
ᎏ Ϻ ᎏᎏ ϭ ᎏ
ᎏ и...