Leccion9 funciones

Apuntes de Matem´atica Discreta
9. Funciones

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
C´adiz, Octubre de 2004

Universidad de C´
adiz

Departamento de Matem´
aticas

ii

Lecci´
on 9

Funciones
Contenido
9.1

9.2

9.3

9.4

9.5

Definiciones y Generalidades

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.1.1

Funci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 226

9.1.2

Dominio e Imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

9.1.3

Igualdad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

9.1.4

Funci´
on Identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Composici´
on de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
9.2.1

Definici´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

9.2.2

Proposici´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

9.2.3

Asociatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2419.3.1

Funci´
on Inyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

9.3.2

Funci´
on Suprayectiva

9.3.3

Funci´
on Biyectiva

9.3.4

Composici´
on y Tipos de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Funci´
on Inversa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 244

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

9.4.1

Funci´
on Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

9.4.2

Caracterizaci´
on de una Funci´
on Invertible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Composici´
on de Funciones e Inversa de una Funci´
on . . . . . . . . . . . . . 258
9.5.1

Proposici´
on . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

9.5.2

Unicidad de la Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

9.5.3

Inversa de la Composici´
on de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Hija orgullosa del N´
umero y del Espacio, he aqu´ı a la funci´
on.
Fran¸cois Le lionnais

Las funciones son un tipo especialde relaciones binarias. Una funci´on puede tomarse como una relaci´on
de entrada-salida; es decir, para cada entrada o argumento, una funci´on produce una salida o valor. Las
funciones son la base de muchas de las m´
as poderosas herramientas matem´aticas, y muchos de nuestros
conocimientos en inform´
atica pueden ser codificados convenientemente describiendo las propiedades de
cierto tipo defunciones. En esta lecci´
on definiremos las funciones en general y varios casos particulares.
La notaci´on y terminolog´ıa que utilizamos se usa ampliamente en matem´aticas e inform´atica.
225

Universidad de C´
adiz

9.1

Departamento de Matem´
aticas

Definiciones y Generalidades

Una funci´on de un conjunto A en otro conjunto B es una regla que asigna un elemento de B a cada
elemento de A.Notaremos las funciones con las letras f, g, h, . . ..

9.1.1

Funci´
on

Sean A y B dos conjuntos no vac´ıos. Una funci´
on de A en B, y que notaremos f : A −→ B, es una
relaci´
on de A a B en la que para cada a ∈ A, existe un u
´nico elemento b ∈ B tal que (a, b) ∈ f . Si
(a, b) ∈ f , escribiremos f (a) = b y diremos que b es la imagen de a mediante f .
Es decir, una funci´
on f de A en B es unarelaci´on de A a B con las caracter´ısticas especiales siguientes:
1. Cada elemento de A se presenta como la primera componente de un par ordenado de la relaci´on f .
Obs´ervese que esto significa que Dom (f ) = A, luego
∀a ∈ A, ∃b ∈ B : f (a) = b
o sea, para cada elemento a de A ha de encontrarse un elemento b en B tal que f (a) = b.
2. Si f (a) = b1 y f (a) = b2 , entonces b1 = b2 .
Las dos...