Lectura 2

OPERACIONES CON MATRICES
Hugo Eduardo Ramirez

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA Y MULTIPLICACION POR ESCALAR

Secci´
on 1: SUMA Y MULTIPLICACION POR ESCALAR
Notaci´
on. Sea A una matriz n × m. una forma usual de representar la matriz gen´erica A es haciendo referencia a los
elementos de la siguiente forma:


a11 a12 · · · a1m
 a21 a22 · · · a2m 


A = (aij ) = 
..
..

.
.
an1 an2 · · ·anm
Definici´
on. Un vector de Rn es una matriz 1 × n que tambi´en se identifica con vector fila, un vector columna de Rn es
una matriz n × 1.
Suma de matrices. Es importante para la suma de matrices que aquellas que se van a sumar tengan las mismas dimensiones.
Definici´
on. Dadas las matrices An×m 1 y Bn×m , la suma An×m y Bn×m es una matriz Cn×m donde cada entrada de la
matriz resultante es lasuma de los entradas correspondientes en las matrices A y B, es decir:


a11
 a21



an1

a12 · · ·
a22 · · ·
..
.
an2

···

 
a1m
b11
 b21
a2m 
 
.. + 
. 

b12
b22
..
.

···
···

anm

bn2

···

bn1

 
b1m
a11 + b11
 a21 + b21
b2m 
 
.. = 
. 

a12 + b12 · · ·
a22 + b22 · · ·
..
.

bnm

an2 + bn2

an1 + bn1

···


a1m + b1m
a2m + b2m 

..
.

(1)

anm + bnm

Es decir quecada posici´
on se debe sumar con su correspondiente, por ejemplo la posici´on de la fila 2 y la columna 4 de
la matriz A debe sumarse con la posici´
on de la fila 2 y la columna 4 de la matriz B, lo que se puede resumir con la siguiente
notaci´
on:
(aij ) + (bij ) = (aij + bij )
a continuaci´
on vemos la definici´
on de multiplicaci´
on por escalar, es decir multiplicaci´on de un n´
umero poruna matriz.
Definici´
on. Dada la matriz An×m y el n´
umero k ∈ R la multiplicaci´on por escalar es una matriz Bn×m donde cada entrada
de la matriz resultante es la multiplicaci´
on del escalar k por la entrada correspondiente en la matriz A , es decir:


a11
 a21

k·

an1

a12 · · ·
a22 · · ·
..
.
an2

···

 
a1m
ka11
 ka21
a2m 
 
.. = 
. 

ka12 · · ·
ka22 · · ·
..
.

anm

kan2kan1

···


ka1m
ka2m 

..
.
kanm

Lo que se puede resumir con la siguiente notaci´on:
k(aij ) = (kaij )
Ejemplo. Realizar las operaciones A + B y αC. Dadas las matrices A, B y C y la constante α:




√
√
1
0
3
4
3 − 43 32 −1
√
2
4




1
√
A =  2 −2
y
1 0
0 , C =
− 2 , B =  −1
3
√
−1 − 3
−1 −1
0
2
− 5
1 3 −2
√
α= 2
1A

1

n×m

hace referencia a una matriz n × m

(2)

OPERACIONES CONMATRICES

SUMA Y MULTIPLICACION POR ESCALAR

Empecemos con la suma

A+B

=

=

=

1

0


 2
−1


−2
−1

1+3

2−1

√
−1 − 5

4

1

√
−1 − 5

√

 
3 − 34 23
4
√


1
1 0
− 2 +  −1
3
√
0
2
− 5
1 3

√
0 − 43
3 + 23
4−1
√

1
−2 + 1
3 + 0 − 2 + 0
−1 + 1
0+3
2−2

√
4
2
−3
3+ 3
3
√ 
1
− 2
−1
3
0
3
0
3

−1




0
−2

antes de hacer la multiplicaci´
on note que ni A con C, ni B con Cse pueden sumar. Realizando la multiplicaci´
on
√
√
2
4
√
αC =
2
−1 − 3
√
√ √
2( 2)
2(4)
√
√
√
=
2(−1)
2(− 3)
√
2 4 2
√
√
=
− 2 − 6

Igual que la suma y la multiplicaci´
on de n´
umeros ya conocida, la suma de matrices y la multiplicaci´on por escalar tienen
unas propiedades b´
asicas.
Teorema 1.1 Dadas An×m , Bn×m , Cn×m tres matrices y α, β dos escalares tenemos las siguientes propiedades.
1.Modulativa de la suma. A + 0n×m = A

2

2. Conmutativa. A + B = B + A
3. Asociativa. (A + B) + C = A + (B + C)
4. Toda matriz tiene una u
´nica matriz opuesta (−A). A + (−A) = 0n×m
5. Unidad. 1A = A
6. 0A = 0n×m
7. Distributiva de la multiplicaci´
on por escalar sobre la suma matricial. α(A + B) = αA + αB
8. Distributiva de la multiplicaci´
on por escalar sobre la suma escalar. (α + β)A = αA + βA
9.Triple producto. (αβ)A = α(βA)
Demostraci´
on. Se demostrar´
an las propiedades 1., 3. y 6. Las dem´as quedan como ejercicio.
Sean A = (aij ), B = (bij ) y C = (cij ), veamos que como la matriz 0n×m solo tiene 0’s podemos representarla por (0ij ) que
significa que en todas las posiciones tiene el n´
umero 0.
1.
A + 0n×m =

20
n×m .

2

(aij ) + (0ij )

Reescribir las matrices con notaci´on

=...