LECTURA III

MS4–0003B4002F50

Arquetipos de comportamiento de sistemas din´
amicos

Introducci´
on

En la mayor´ıa de los ejemplos que se utilizar´an en esta asignatura, los sistemas son demasiado complejos como para predecir
de forma detallada su comportamiento sin integrar las ecuaciones
que definen el sistema para el conjunto de par´ametros, t´erminos
forzantes y condiciones iniciales que definen cadaescenario.
No obstante, el comportamiento de cada sistema es siempre el
resultado de la existencia de varios comportamientos b´asicos que
compiten entre s´ı en distintos momentos o rangos de los diferentes
par´ametros o condiciones iniciales.
Por tanto, es interesante analizar, al menos de forma cualitativa,
cu´al se puede esperar que vaya a ser el comportamiento del sistema
en funci´
on de suestructura, conociendo el comportamiento de
sistemas sencillos. Estos comportamientos t´ıpicos que est´an en la
bases de muchos tipos de sistemas de complejidad variable se van
a llamar arquetipos de comportamiento.

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Arquetipos de comportamiento de sistemas din´
amicos

Crecimiento o decrecimiento lineal

El valor del flujo neto sobre un reservorio es constante (k). El
reservoriocrece (k > 0) o decrece (k < 0) de forma lineal con el
tiempo (x(t) = x0 + kt). El flujo neto k representa la pendiente
de la recta x(t). En el caso especial en que k = 0, el sistema se
encuentra en estado estacionario (x(t) = x0 ).
Ejemplo: Evoluci´
on de las reservas mundiales de petr´
oleo bajo
la hip´
otesis de un consumo energ´etico constante y sin el descubrimiento de nuevos yacimientos.

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Arquetipos de comportamiento de sistemas din´
amicos

Crecimiento exponencial
Este comportamiento es propio de un bucle de realimentaci´
on
positiva:

F (x)
tan θ = k
+
X

θ

(+)

F
+

X
Ecuaci´
on de evoluci´
on:

dx
= F (x) = kx; x(t) = x0 exp(kt),
dt
con x0 el valor inicial de x. La cantidad x aumenta indefinidamente
con el tiempo, y la derivada es mayor cuanto mayor es x.La
constante k se llama tasa de crecimiento y est´a relacionada con
la velocidad a la que el proceso aumenta y con el tiempo de
duplicaci´
on, que es el tiempo necesario para que el valor inicial de
x se duplique.
ln 2
td =
k
Se define el e-folding time te como el tiempo requerido para que la
variable x aumente en un factor e:

te =

td
1
=
k
ln 2

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Arquetipos de comportamientode sistemas din´
amicos

Evoluci´
on temporal en el crecimiento exponencial

x

Un ejemplo t´ıpico de bucle de realimentaci´
on positiva aparece en
el caso de la evoluci´
on de la poblaci´
on si la natalidad supera a la
mortalidad y el medio es ilimitado:

n

N

P

D

m

dP
= N − D = nP − mP = (n − m)P
dt
dP
= kP ; k = (n − m)
dt

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Arquetipos de comportamiento de sistemasdin´
amicos

Decrecimiento exponencial

Este comportamiento es propio de un bucle de realimentaci´
on
negativa:

F (x)
kxd

tan θ = −k
θ
xd

+
X

(−)

F
−

X

Ecuaci´
on de evoluci´
on:

dx
= F (x) = k(xd − x)
dt
x(t) = xd + (x0 − xd ) exp(−kt),
con x0 el valor inicial de x y xd = limt→∞ x(t) el valor asint´
otico
del sistema. Se define la vida media como el tiempo necesario para
que la variabledisminuya en la mitad: tm = ln 2/k.
x0>xd
x0 xd

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Arquetipos de comportamiento de sistemas din´
amicos

Evoluci´
on sigmoidal

El crecimiento exponencial puro no es posible en un entorno
limitado, debido a que en sus etapas avanzadas el consumo de recursos o energ´ıa es demasiado elevado y el entorno queda exhausto.
Por ello, existen sistemas en los que aparece una competici´
onentre
dos bucles, uno positivo y otro negativo. Durante la fase inicial de
evoluci´
on del sistema, el bucle positivo predomina claramente. Al
llegar a un nivel comparable a la capacidad de soporte del medio,
el ciclo negativo gana en importancia y, eventualmente, supera en
intensidad al ciclo positivo. Durante esta segunda etapa, el sistema
se estabiliza en torno al valor asint´
otico...

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