LECTURA SEMANA1

UNIDAD UNO
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN Y CONTINUIDAD

Palabras Clave
Función, aproximación, tendencia, límite, continuidad

1.1 OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD

1. Presentar

de manera intuitiva la
noción de límite de una función,
mediante gráficas de funciones y
mediante la utilización de tablas de
datos, otra manera de expresar una
función.

2. Presentar

de manera intuitiva la
noción decontinuidad de una
función en un punto, junto con su la
formalización.

3. Presentar

las propiedades de los
límites, y a partir de ellas, calcular el
límite de una función, si éste existe.

1.2 COMPETENCIAS
El estudiante estará en capacidad
de comprender y expresar las ideas
matemáticas tratadas en esta
unidad, mediante la utilización de la
simbolización matemática.
El estudiante estará en capacidad
desolucionar ejercicios, utilizando la
teoría tratada en la unidad.

1

1.3 DESARROLLO TEMÁTICO
Politécnico
Grancolombiano‐en
alianza
con
Whitney
International
University
System





Definición de función

Limite de función

Presentación intuitiva
de la idea de limite de
una función en un
punto

Definición de limite de
una función
propiedades de las
limites

Definición de
continuidad de unafunción en un punto

2

1.3.1 PRESENTACIÓN INTUITIVA DE LA IDEA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
¿Qué sucede con las imágenes de valores evaluados bajo una función f
cuando la variable independiente se aproxima a un número a? (Nota:
Debemos decir que el valor a no necesariamente hace parte del
dominio de la función f )
Para empezar a responder la pregunta, veamos el siguiente ejemplo: La
figura muestra lagráfica de la función

y queremos saber

qué ocurre con las imágenes de valores bastante próximos a 3.

6


3


Observamos varias cosas:
‐

El dominio de f corresponde a todos los números reales excepto
. Debido a esto, la gráfica de f presenta un “hueco”

‐

La gráfica de la función f es una recta

Ahora, si escogemos un intervalo pequeño alrededor del valor 3 y
comenzamos a aproximarnos por laderecha y por la izquierda a este
valor, notamos que las imágenes de los puntos del intervalo se
aproximan a 6. Veamos la situación descrita, en la siguiente figura:

3








2,7

2,8

2,99





3


3,01




3,02
















3,1


3


Decimos entonces que el Límite de la función f cuando x tiende o se
aproxima al valor 3, es 6
En la siguiente tabla, se muestran algunos valores bastante próximosa
y al igual que en la gráfica, podemos observar qué ocurre con el
comportamiento de sus correspondientes imágenes obtenidas al
evaluar cada valor arbitrario bajo f.
Nótese que se escogen valores que se acerquen o aproximen a 3 por la
derecha y valores que se acerquen o aproximen a 3 por la izquierda.

2,7

2,8

2,9

2,95

2,96

2,97

2,98

2,99

3

3,01

3,02

3,03

3,1

3,2

5,7

5,8

5,95,95

5,96

5,97

5,98

5,99

6

6,01

6,02

6,03

3,1

6,2

4

Politécnico
Grancolombiano‐en
alianza
con
Whitney
International
University
System




















6,1












6,02










6,01















6










5,99












5,8












5,7






En conclusión:
•

•

Cuando x se acerca a 3 por la izquierda, la imagen
se
acerca a 6 ; Este hecho se simboliza así:
lí m f (x) =6 . El signo
x→ 3−
menos que aparece como exponente de 3 está indicando que
estamos acercándonos por la izquierda a este valor, a 3

€
Cuando x se acerca a 3 por la derecha,
simboliza así:

se acerca a 6 ; se

. El signo más que aparece como

exponente de 3 está indicando que estamos acercándonos por la
derecha a este valor, a 3
Ahora, como el límite cuando nos aproximamos a 3 por la izquierdaes
igual al límite cuando nos aproximamos a 3 por la derecha, se dice
entonces que el límite de

cuando x tiende a 3 existe, y

es igual a 6. Este hecho se simboliza así:

Definición.
Se dice que

Lim f

x →a

(x)

= L,

que se lee: “ El límite de

cuando x tiende a a, es igual a L”,

si es posible hacer que los valores de

€

se aproximen tanto como queramos a L, al tomar

valores para x...