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EJERCICIOS RESUELTOS DE INECUACIONES





1. Resolver las inecuaciones: a) 3 - 2x ≥8 - 7x b)
6 - 2x
5 >
1 - x
10

Solución

a) Para resolver la inecuación, se pasan los términos con x al primer miembro y los independientes al segundo quedando 5x ≥5.
1
Multiplicando por
5 , para despejar la x, se obtiene x ≥1.
Por tanto, las soluciones son los números del conjunto [1,+∞).

b) Se eliminan los denominadores de la inecuación, multiplicando por 10, 12 - 4x > 1 - x

se pasan los términos con x al primer miembro y los independientes al segundo, -3x > -11

11
se divide por -3 cambiándose la desigualdad de sentido al ser -3 un número negativo, x < 3 .
 11 
Por tanto, las soluciones son los números del conjunto -∞,
3 .


2. Resolver las inecuaciones: a)x2 + 6x - 1 ≤3x2 + 3x - 6 b) 3x2 + 4 < x4 + 3x3 + 3x

Solución

a) Al ser una inecuación polinómica de segundo grado, se agrupan todos los términos en un miembro, por ejemplo, si se pasan al primero queda -2x2 + 3x + 5 ≤0.

Como las raíces del polinomio -2x2 + 3x + 5 son x = -3  3

- 4(-2)5

-3  49
=
-3 7 -1
= = 5 ,
2(-2)

 5 
-4 -4
2
la inecuación se puedeescribir de la forma -2(x + 1)x - 2 ≤0, y multiplicando por -1 se obtiene
 5 
2(x + 1)x - 2 ≥0.
En la siguiente tabla se estudia el signo de los factores, en los intervalos determinados por las raíces, para obtener el signo del polinomio.









2(x + 1)x - 2 

5 
Así los puntos del conjunto (-∞, -1) ∪2 , +∞son solución de la inecuación. Además, como los
extremosde los intervalos también son solución, por ser la desigualdad no estricta, se tiene que el
conjunto de soluciones es (-∞, -1∪ 5 ,
2
+∞.
 

b) Se pasan todos términos al segundo miembro quedando 0 < x4 + 3x3 - 3x2 + 3x - 4. Para factorizar el polinomio se calculan sus raíces dividiendo por Ruffini



1
1
3

1
-3

4
3

1
-4

4


-4
1
4
1
4
0

-4
0
-41
0
1
0


Por tanto, la inecuación queda de la forma 0 < (x - 1)(x + 4)(x2 + 1).
Como el último factor es siempre positivo, para determinar el signo del polinomio, basta considerar el signo de los dos primeros factores, como se muestra en la tabla siguiente.

Signo
(-∞, -4)
(-4, 1)
(1, +∞)
x - 1
-
-
+
x + 4
-
+
+
(x - 1)(x + 4)(x2 + 1)
+
-
+

Sustituyendo los extremos delos intervalos se observa que no son solución de la inecuación. Por tanto, la solución es el conjunto (-∞, -4) ∪(1, +∞).


3. Resolver la inecuación
4x + x2 - 2
x2 + x >
x2 - 2
x

Solución

Observar que si se multiplica en cruz, la desigualdad podría cambiar de sentido dependiendo del signo de los denominadores. Por ello es mejor realizar las siguientes operaciones, con el objeto deagrupar en un miembro todos los términos.

Se pasa restando el segundo miembro al primero,
4x + x2 - 2
x2 + x -
x2 - 2
x > 0.
Realizando operaciones en el primer miembro de la inecuación queda
4x + x2 - 2
x2 + x -
x2 - 2
x =
4x + x2 - 2
x(x + 1) -
x2 - 2
x =
4x + x2 - 2 - (x2 - 2) (x + 1)
x(x + 1) =
-x3 + 6x x(x + 1)


y factorizando el numerador se obtiene

-x3 + 6x x(x + 1)=

x (6 - x2)
x (x + 1) =

x ( 6 + x) ( 6 - x) x (x + 1) .

Teniendo en cuenta que x no puede ser cero, ya que este valor anula los denominadores de la inecuación inicial, se puede simplificar x en la expresión anterior obteniéndose la siguiente



inecuación equivalente a la inicial,
( 6 + x) ( 6 - x)
x + 1 > 0. Para resolverla, se analiza el signo de
cada factorcomo se muestra en la siguiente tabla.

Signo
(-∞, -
6)
(-
6, -1)
(-1, 0) ∪(0,
6)
(
6, +∞)
6 + x
-
+
+
+
6 - x
+
+
+
-
x + 1
-
-
+
+
(
6 + x) ( 6 - x)
x + 1

+

-

+

-

Sustituyendo los extremos de los intervalos se observa que no son solución de la inecuación. Por tanto, la solución es el conjunto (-∞, - 6 ) ∪(-1, 0) ∪(0, 6 ).




4. Resolver...