Lectura

2.3 Derivada por gráfica

Ahora aprenderás a obtener la derivada por medio de gráficas; observando las características de la función es posible deducir las características de la gráfica de la derivada y dibujarla. Primero deduciremos intuitivamente la información que las derivadas nos proporcionan con respecto a la función. Para ello responderemos a lo siguiente:

Ejercicio: Contesta lo quese indica para la gráfica de la función

a) Dibuja una recta tangente a la gráfica de la función en el punto marcado.

¿Cómo es la función en el lado izquierdo creciente o decreciente?

____________________________

¿ La pendiente de la recta que dibujastees positiva o negativa?

_____________________________
Utilizando el hecho de que la derivada es la pendiente de la recta tangente, podemos concluir que cuando la función es decreciente la derivada es __________________________

b) Dibuja una recta tangente a la gráfica de la función en el punto marcado.¿Cómo es la función en el lado derecho creciente o decreciente?

____________________________

¿ La pendiente de la recta que dibujaste es positiva o negativa?

_____________________________
Utilizando el hecho de que la derivada es la pendiente de larecta tangente, podemos concluir que cuando la función es creciente la derivada es __________________________

2ª Derivada
La segunda derivada de la función f(x), denotada como f ´´(x) es la derivada de f ´(x).
Como f ´(x) es también una función, entonces es posible obtener su derivada y a ella se le llamará segunda derivada. En forma similar es posible obtener tercer derivada, cuartaderivada, etc...
Observa que en el ejercicio anterior utilizamos el concepto de derivada y determinamos si la función es creciente o decreciente; con la segunda derivada podemos determinar como es la concavidad, hacia arriba o hacia abajo.
Para deducirlo, contestaremos el siguiente ejercicio.
Primero veamos la información en la siguiente nota pues nos será de mucha utilidad al dibujar la gráfica de laderivada de un polinomio.

Nota: Si f(x) es un polinomio de grado n entonces f ´(x) también es un polinomio pero de grado n– 1, f ´´(x) también es un polinomio, pero de grado n – 2 y así sucesivamente; el signo del polinomio se conserva en todas las derivadas.
En los puntos en donde el polinomio tenga un máximo o un mínimo la derivada es cero.

Utilizando este hecho dibujemos la gráficade la primera y segunda derivada del polinomio dado en la siguiente grafica


f (x) f ´(x) f ´´(x)



-1 3




f(x) es un polinomio de grado f ´(x) es un polinomio de grado f ´´(x) es un polinomio de grado__________________ _____________________ ______________________

con signo ___________ con signo ______________ con signo _______________


a)Observa la gráfica de f ´´(x), ¿Cómo es la gráfica para valores de x antes del 1, positiva o

negativa? _________________________

b)Observa la gráfica de f ´(x) para valores de xantes del 1, ¿es creciente o decreciente?

__________________________________

c)Observa la gráfica de f (x) para valores de x antes del 1, ¿qué concavidad tiene? (arriba o abajo)

__________________________________

Podemos concluir que cuando la segunda derivada es positiva la primer derivada es _____________ y la función es _____________________________



d) Observa la...