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EL TRIÁNGULO
1. EL TRIÁNGULO. PRIMERAS PROPIEDADES
El triángulo es un polígono que tiene tres lados y tres ángulos. Es, por tanto, el
polígono más simple y el conocimiento de sus características y propiedades nos ayudará
a analizar los polígonos de más lados.

Recordemos algunas propiedades elementales de los triángulos
A) Los tres ángulos de un triángulo suman 180º como puede comprobarsecon la figura
siguiente

Como consecuencia de esta propiedad puede demostrarse fácilmente que los ángulos de
un polígono de n lados suman 180º·(n -2)

B) Un lado es menor que la suma de los otros dos.
a < b + c, b < a + c, c < a + b
C) Dado un triángulo siempre existe una circunferencia circunscrita a él. Su
centro, como ya sabéis, es el punto donde se cortan las mediatrices de los lados.1

Por cierto, ¿todo cuadrilátero puede inscribirse en una circunferencia?. En caso
de respuesta negativa, ¿qué condición debe cumplir el cuadrilátero para que exista una
circunferencia que pase por los cuatro vértices del cuadrilátero?

2. ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO
El triángulo, como polígono que tiene tres lados y tres ángulos, se clasifica según sus
lados y según sus ángulos.

Esdecir:
Según sus lados:
Equilátero: Tres lados iguales.
Isósceles: Dos lados iguales y el tercero con otra medida.
Escaleno: Tres lados con distinta medida.
Según sus ángulos:
Rectángulo: Un ángulo recto.
Acutángulo: Tres ángulos agudos
Obtusángulo: Un ángulo obtuso
2

Problemas:
1.- ¿Qué ángulo forman dos diagonales de dos caras consecutivas de un cubo que se unen
en un vértice?2.- ¿Qué ángulo forman dos segmentos que unen el punto medio de una arista de un cubo
y los puntos medios de otras dos aristas consecutivas de diferentes caras?
3.- Calcula el ángulo obtuso que forman las dos bisectrices interiores de los ángulos
agudos de un triángulo rectángulo.
4.- En la figura AF es la bisectriz del ángulo A
y BH la altura sobre la hipotenusa. Demuestra
que el triánguloBEF es isósceles.

A
H
E

C
B

F

5.- El triangulo ABC de la
figura es equilatero. Si el ángulo DAC=40º y el ángulo EBC=35º
¿Cuanto mide el ángulo DFE?

6,- Si AB=AC y z es un angulo agudo .Expresa el angulo z
utilizando los ángulos x e y

2.1 Área de un triángulo
El área del triángulo es consecuencia del área del paralelogramo, cuya área se deriva, a
su vez, del área delrectángulo.

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Area del Rectángulo = Largo x ancho = Producto de sus lados = Base x altura.
Area del Paralelogramo = Base x altura
Base x altura
Area del triángulo =
2
p p a p b p c siendo p a b c
Formula de HERON A
2

Problemas:
1.- Sea el triángulo equilátero ABC de área 1024 metros cuadrados. Uniendo los puntos
medios se ha construido el triángulo A´B´C´. Del mismo modo se construyeel
A´´B´´C´´ y así sucesivamente.
Calcula:
A´
a) El área del triángulo A´B´C´
C
B
b) La suma de las áreas de los tres primeros
triángulos formados con el procedimiento que
se ha explicado anteriormente.
C´
B´
c) El proceso puede ser infinito. ¿Cuánto suman
las áreas de todos los triángulos que pueden
formarse?
A
2) Una hoja cuadrada de papel de 12 cm2 de área, es blanca por unacara y roja por la otra. Doblamos una esquina de la hoja formando un
triángulo con dos lados paralelos a los lados de la hoja, como se
muestra en la figura. Si ahora la superficie visible de la hoja es la
mitad roja y la mitad blanca, ¿cuál es, en cm, la longitud del doblez
EF?

3. TEOREMA DE PITÁGORAS
En todo triángulo rectángulo se cumple el teorema de Pitágoras que dice:
El área delcuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de
los cuadrados construidos sobre los catetos.
En términos aritméticos puede expresarse: a2 + b2 = c2.

Problemas:
1.- Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 10 m.

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2.- Comprueba que si un cateto de un triángulo rectángulo mide 2a y el otro mide (a2-1),
la hipotenusa mide (a2+1), a >1.
3.- Las ternas...