LEEA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
PROFESOR JOSÉ JIMÉNEZ
01
Pote nc ias y Raíces
Al té r mino de e st a le cci ón po drás:
Rec onoc er y aplic ar las propi edad es d e las op erac ion es c on
pot enc ias de b ase r eal y ex pon en te en ter o o r ac i ona l.
Resolver ecuaciones exponenciales.
Efec tu ar operac i ones c on ra íc es, a plic ando s us pr o pi edades .
Deno tar u na ra íz m ed ia nte l a f orm a t ípic a .
Rac ion al iz ar el denom inador d e una frac c ión.
Resolver ecuaciones Irracionales
Intr oducción
Así
c om o
la
m u lti plic ac ión
es
una
s um a
abr ev iada,
las
po te nc ias
s on
m ult i plic ac i o nes abr ev iadas. A pesar d e que e n la i gu a ldad :
ab c
La no tac i ón p ara enc on trar ta nto c c om o a fue am pl iam e nt e u tiliz ad a des d e los
gri egos ( utiliz a ndo pot enc i as y ra íc es, res pec t iv am en te), l a not ac ión utiliz a da pa ra
enc on trar b (l os l ogaritm os) no fuero n i ntr od uc idos has t a 1 614, por J ohn Napi er en el
libr o int itu lado M iri fic i L ogar it hm orum Ca nonis D esc ripti o. Es ta no tac ió n f ac il it ó s u
aplic ac i ón e n m últ ip les ram as de la m at em át ic a a plic a da, tal es c om o l a as tronom ía
y l a n avegac ió n. Pos ter iorm ent e, las no tac i ones an ter ior es fueron de gr an utilidad
par a c álc ul os c om pu tac i ona les.
1. Potencias.
Se denomina potencia de base real y exponente entero a toda expresión de la
forma:
a n a a a ... a c , a , n Z
n vecesAs í, al val or “ a” s e l e d enom in a b as e, al v al or “ n” ex po nente y a “c” valor de la potencia.
La base corresponde al valor que se repite como factor tantas veces como nos indica el
exponente.
Ejemplos:
3
(4) 4 4 4 64
2
2
33 9
6
3
2
(0,6)
5 5 25
10
5
REFORZAMIENTO
1
COLEGIO S UPERIOR DEL MAIPO
DEPARTAMENTODE MATEMÁTICA
PROFESOR JOSÉ JIMÉNEZ
1.1 Propiedades de las Potencias
Potencias de igual base
Multiplicación
División
a m a n a mn ,
a ; m, n
a m : a n a mn ,
a 0; m, n
Potencias de igual exponente
Multiplicación
División
a m b m ( a b) m ,
a, b ; m
a m : b m ( a : b) m ,
a, b ; b 0; m
Potencia de unProducto
Potencia de un Cuociente
( a b) m a m b m
a, b ; m
am
a
m
b
b
a, b ; b 0; m
Potencia de una Potencia
Potencia de exponente cero
( a m ) n a m n
a ; m, n
a0 1
a 0
Potencia de base 1
Potencia de exponente negativo
1n 1
n
m
m
a
m
1 a
a b
m
b
a
ma, b ; a; b 0; m
Ejemplos:
2
3
5
x x x
a7
a6
a
42n (3) 2n
12 2 n
6
(5a) 6 5a
56
6
a
a
b
2
55
b2
0
(4) 1
12
1
1
2
7
1
1
2
49
7
2
2
2
3 9
3
2 4
REFORZAMIENTO
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COLEGIO S UPERIOR DEL MAIPO
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Recuerda que:
a1 =a
y
an na
1.2 Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella que tiene al menos una potencia con u na o m ás
incógnitas en su exponente. Para resolver una ecuación exponencial debemos reducir cada
lado de la ecuación a u na sola potencia y luego igualar las bases, aplicando las propiedades
de las potencias cuandocorresponda. En consecuencia, como las pot encias son iguales, sus
exponentes también lo son, quedando así planteada la ecuación a resolver.
Ejemplos :
43 x 5 4 x 7
Como estas potencias son igual y tiene iguales sus bases, entonces
3x 5 x 7
2x 2
x 1
6 3 x4
1
36
Como las bases son distintas debemos igualarlas aplicando alguna
propiedad de las potencias, en...
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