Leibniz y Cavalieri

BONAVENTURA CAVALIERI, GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ. CONTRIBUCIONES AL DESARROLLO DEL CÁLCULO.

ANDRÉS FERNANDO AGUILAR PEDRO NEL JAIMES JAIMES JAVIER MAURICIO QUIÑONEZ

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS EPISTEMOLOGÍA E HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS 2011

BONAVENTURA CAVALIERI, GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ. CONTRIBUCIONES AL DESARROLLO DEL CÁLCULO.ANDRÉS FERNANDO AGUILAR PEDRO NEL JAIMES JAIMES JAVIER MAURICIO QUIÑONEZ

Presentado a: GABRIEL YAÑEZ CANAL

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICAS EPISTEMOLOGÍA E HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS 2011

INTRODUCCIÓN

Dos grandes matemáticos que contribuyeron al desarrollo del cálculo fueron Bonaventura Cavalieri y Gottfried Wilhelm Leibniz, cada uno enépocas distintas pero con desarrollos teóricos de gran importancia para la construcción del cálculo como lo es hoy; en este escrito nos enfocaremos en estos dos autores y reconstruiremos a grandes rasgos algunos apartes de sus obras. La obra más representativa de Bonaventura Cavalieri fue “Geometría indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota” donde expone su teoría de indivisibles parael cálculo de áreas y volúmenes; a través de la particularización de algunos casos ejemplificaremos la teoría de los indivisibles y también el desarrollo de la integral para la función . En cuanto a Leibniz con la introducción de una nueva notación al cálculo diferencial e integral, facilitó el cálculo de áreas bajo la curva, este es el legado más perdurable que nos ha dejado hasta el día de hoy.Enfatizaremos en el estudio de los diferenciales de orden superior, puesto que es un enfoque que abrió el estudio de las ecuaciones diferenciales.

BONAVENTURA CAVALIERI Nació en Milán (Italia) en 1598 y murió en Bolonia (Italia) en 1647 a una edad de 49 años. Su interés por las matemáticas fue estimulado por los trabajos de Euclides, fue uno de los precursores en Italia del cálculologarítmico, pero la obra la cual lo inmortalizó fue: ”Geometría indivisibilibus continuorum quadam nova ratione promota” en 1635, donde expone su teoría de invisibles, la cual consiste básicamente en ver cualquier región (superficie o volumen) en un número infinito de indivisibles, que al ser sumados genera el área o el volumen de figuras geométricas. Para desarrollar esta teoría Cavalieri emplea suprincipio en cual citaremos a continuación: Principio de Cavalieri: “Si dos figuras planas ( o sólidas) tienen igual altura y las secciones hechas por rectas paralelas ( planos paralelos en caso de sólidos) a las bases y a igual distancia de ellas están siempre en la misma razón, entonces las figuras planas (o los sólidos) están también en la misma razón.” Para la ilustración de esto veamos la FIGURA 1,estas dos figuras planas, tienen igual longitud , si trazamos paralelas a estas dos formas vemos que se generan cortes que tienen igual longitud, es decir estos dos cortes (indivisibles) están relacionados uno al otro,

(FIGURA 1)

Si hacemos un barrido a través de y sumamos todos los indivisibles vemos que se genera el rectángulo OPQS, por lo tanto la forma tiene la misma área que la delrectángulo. De igual forma tendríamos este procedimiento para el cálculo del volumen de cualquier figura, si hay una correspondencia entre los indivisibles de un sólido(ya conocido) con respecto al otro (por conocer), al sumar todas estas áreas podemos ver que los volúmenes guardan esta misma correspondencia. (FIGURA 2)

(FIGURA 2)

Cuadratura de la parábola Cavalieri consigue una gran cantidadde resultados usando la idea de los indivisibles, en este caso nos enfatizaremos en bosquejar su contribución a un resultado estrechamente vinculado con el nacimiento del cálculo: la cuadratura de una parábola . Notación moderna:

Veamos como hace para reducir este problema de cuadratura a una comparación de indivisibles, Cavalieri logra resolver para lo que le lleva a enunciar que la...