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SISTEMAS DE PARTICULAS

Las masas m1 = 10 kg y m2 = 6 kg están unidas por una barra
rígida de masa despreciable. Estando inicialmente en reposo se
hallan bajo la acción de las fuerzas
€

F 1 =8ˆ i y
€

F 2 = 6ˆ j . Hallar las
coordenadas de su centro de masas como función del tiempo.
Expresar el momento lineal en función del tiempo.


Solución: I.T.I. 96, 98, 03,I.T.T. 03

La posición inicial del C.M. será:


€

r c.m.,0 = m1

r 1,0 + m2

r 2,0
m1 +m2
= 3
2,
15
8 ,0 "
#
$
%


La velocidad inicial del C.M. es nula ya que las dos partículas parten del reposo.

La aceleración del C.M. es:


€

F 1 + 
F 2 = m1 +m2 ( ) 
a c.m. ⇒ 
a c.m. =

F 1 + 
F 2
m1 +m2
= 1
2,
3
8
,0 #
$
%
&El C.M. va a realizar por lo tanto un movimiento uniformemente acelerado:


€

r c.m. = 
r c.m.,0 +
1
2

a c.m.
t
2 =

El momento lineal inicial es nulo (por encontrarse en reposo las partículas), el momento
lineal final será igual al impulso comunicado por las fuerzas externas:


€

P (t) = 
F 1 + 
F ( 2 )dt 0
t
∫ = 
F 1 + 
F ( 2 )t =(todos los resultado expresados en unidades del S.I.)



€

F 1


€

F 2

x
y
m1
3 m m2
4 m
€
6 +t
2
4 ,
30+ 3t
2
16 ,0 "
#
$ %
&
'

€
(8t,6t,0) Física Tema Página 2

Una granada que lleva una velocidad de 10 m/s estalla dividiéndose en dos fragmentos. El
mayor de estos, cuya masa representa el 60% del total de la masa de lagranada sigue
moviéndose en la misma dirección que antes, pero su velocidad aumenta hasta 25 m/s. Hallar
la velocidad del fragmento menor.

Solución: I.T.I. 01, 04, I.T.T. 01, 04

Llamemos m a la masa de la granada, m1 a la del fragmento mayor, y m2 a la del
fragmento menor, y sean
€

v ,
€

v 1 y
€

v 2 sus velocidades respectivas. Aplicando la
conservación delmomento lineal:


€
m
v = m1

v 1 +m2

v 2

En esta ecuación los vectores
€

v y
€

v 1 tienen la misma dirección, con lo que el vector
€

v 2
estará dirigido también en la misma dirección. Reescribiendo la ecuación pero ahora
sólo con la componentes de los vectores a lo largo de dicha dirección de movimiento:

€
mv = m1
v1 +m2v2 ⇒ v2 = mv −m1
v1m2
=
v − m1
m
v1
m2
m
=

Según el resultado el segundo fragmento se moverá según la dirección original pero en
sentido contrario (dado el signo negativo).



Un proyectil se dispara desde un cañón con velocidad de 480 m/s con un ángulo de 60º con la
horizontal. El proyectil explota en dos fragmentos de igual masa 50 s después de haber
abandonado el cañón. Uno de losfragmentos cuya velocidad inicial es nula cae
verticalmente. ¿A qué distancia del cañón cae el otro fragmento suponiendo el terreno
nivelado?

Solución: I.T.I. 03, I.T.T. 03

Si tomamos el origen de coordenadas en la situación del cañón y ponemos a cero el
cronómetro cuando se lanza el proyectil, las ecuaciones del movimiento para el C.M. del
proyectil antes y después de la explosiónserán:


€

r c.m.
(t) = 
v c.m.,0 t +
1
2

g t
2 , 
v c.m.
(t)= 
v c.m.,0 + 
g t

En el momento de la explosión:


€

r c.m. t( expl.) = 12ˆ i +8.53ˆ ( j ) km , 
v c.m. t( expl.) = 240ˆ i −74.3ˆ ( j ) m/s

El momento lineal del proyectil antes y después de la explosión debe ser el mismo.
Llamemos
€

v 2,0 a la velocidad inicial delsegundo fragmento después de la explosión:
€
−12.5m/s
Física Tema Página 3


€

P antes = 
P después ⇒ M
v c.m. t( expl.) = m2

v 2,0
⇒ 
v 2,0 = M
m2
#
$
% &
'
(

v c.m. t( expl.) =2

v c.m. t( expl.) = 480ˆ i −148.6 ˆ ( j ) m/s


La posición inicial del fragmento 2 es la misma que la que tenía el proyectil en el
instante texpl., de forma que...