Lema de fisher

Lema de Fisher. Sea X1 , . . . , Xn una muestra aleatoria simple de una poblaci´n N(µ, σ 2 ). o Se define la media muestral como X n = n−1 (X1 + · · · + Xn ) y la cuasivarianza muestral como S 2 = (n− 1)−1
n i=1 (Xi

− X n )2 . Entonces se verifica

1. Los estad´ ısticos X n y S 2 son independientes. 2. (n − 1)S 2 /σ 2 tiene distribuci´n χ2 con n − 1 grados de libertad. o 3. El estad´ ıstico
Xn√ −µ S/ n

tiene distribuci´n t de Student con n − 1 grados de libertad. o

Demostraci´n: Para demostrar el primer apartado, basta probar que X n es independio ente del vector (X1 − X n , . . ., Xn − X n ). Para demostrar esta independencia se va a factorizar la funci´n generatriz de momentos conjunta en el producto de las dos marginales. Si o M (s; t1 , . . . , tn ) es la funci´ngeneratriz de momentos del vector (X n , X1 − X n , . . . , Xn − X n ), o entonces,
n

M (s; t1 , . . . , tn ) = E[exp{sX n +
i=1

ti (Xi − X n )}].

Reordenando t´rminos, tenemos que e
n n

sX n +i=1

ti (Xi − X n ) =
i=1 n i=1

s . ¯ + (ti − t) Xi = n
n i=1 (ti

n

ai Xi .
i=1

N´tese que o

n i=1

ai = s y

a2 = s2 /n + i
n

¯ − t)2 . Por lo tanto,
n

M (s; t1 , . .. , tn ) = E[exp{
i=1 n

ai Xi }] = MX1 ,... ,Xn (a1 , . . . , an ) =
i=1

exp{µai +
n

σ2 2 a} 2 i

= exp{µ
i=1

σ ai + 2
2

2

n

a2 } i
i=1 2

σ 2 = exp{µs + s /n + 2
n2

¯ (ti − t)2 }
i=1

= exp{µs +

σ 2 σ s } exp{ 2n 2

¯ (ti − t)2 }
i=1

= MX n (s)MX1 −X n ,... ,Xn −X n (t1 , . . . , tn ), ya que, para obtener la funci´n generatriz de momentos de(X1 − X n , . . . , Xn − X n ), basta o hacer s = 0 en M (s; t1 , . . . , tn ). Para el segundo apartado, obs´rvese que e . W =
n

i=1

Xi − µ σ

2

n

=
i=1

Xi − X n σ
2

2

+

Xn− µ √ σ/ n

2

(n − 1)S 2 Xn − µ √ = + σ2 σ/ n

. = U + V,

1

donde W tiene distribuci´n χ2 , V tiene distribuci´n χ2 y U y V son independientes. Como o o n 1 consecuencia, U tiene...