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INSTITUTO DE PROFESORES “ARTIGAS”

ESPECIALIDAD MATEMÁTICA
GEOMETRÍA

UNIDAD 2
FICHA 1: Funciones en el plano – Isometrías.

1 – Funciones en el plano.
2 – Isometrías.
2.1 – Axioma métrico. Definición de isometría.
2.2 – Estructura de las isometrías.
2.3 – Determinación de isometrías.

2009

Instituto de Profesores “Artigas”

Geometría – Unidad 2

1. Funciones en el plano.En cada una de las siguientes funciones en el plano:
i) hallar la imagen de *una recta, *un triángulo, *un cuadrado.
ii) investigar si es inyectiva, sobreyectiva, biyectiva y hallar recorrido.
iii) en caso de ser biyectiva definir la función inversa.
iv) investigar si conserva el sentido del plano.
v) investigar si conserva las distancias.
vi) investigar si conserva la alineación.
vii)investigar si conserva el paralelismo.
1.- Elegida una unidad de longitud u y un punto O fijo, se define la función f : π → π como sigue:
f (O) = O
si P ≠ O, f (P) = P’ donde P’ pertenece a la semirrecta OP de forma que OP’ = OP + u.
2.- Dada a ⊂ π definimos f a : π → π como sigue:
si P ∈ a → f ( P ) = P
si P ∉ a → f ( P ) = P’ y para hallar P’ se traza r ⊥ a por P, r ∩ a = {PO},
P’ ∈ opPOP /P’PO = 2.POP.
3.- Dado O ∈ π definimos f O : π → π como sigue:
f(O)=O
si P ≠ O → f ( P ) = P’ siendo el triángulo (OPP’ ) equilátero y antihorario.
4.- Dadas a, b ⊂ π de modo que a ∩ b ≠ ∅, definimos f a, b : π → π como sigue:
si P ∈ a → f ( P ) = P
si P ∉ a → f ( P ) = P’ y para hallar P’se traza r // b por P, r ∩ a = {P’}.
5.- Dadas a, b ⊂ π de modo que a ∩ b ≠ ∅, definimos f a, b : π → πcomo sigue:
si P ∈ (a ∪ b) → f ( P ) = P
si P ∉ (a ∪ b) → f ( P ) = P’ y para hallar P’se traza r ⊥ a por P, r ∩ a = {PO},
s ⊥ b por PO, s ∩ b = {P1}, t // r por P1,
P’∈ t / P’P1 = POP y (POP1P’ ) antihorario.
6.- Dados A, B ∈ π definimos f A, B : π → π como sigue:
si P∈ AB → f ( P ) = P’ con P’ ∈ AB, P’B = PA y PP’ = AB.
si P ∉ AB → f ( P ) = P’ con P’ el cuarto vértice del paralelogramo(PABP’).
7.- Dada a ⊂ π definimos f a : π → π como sigue:
si P ∈ a → f ( P ) = P
si P ∉ a → f ( P ) = P’ y para hallar P’ se traza r ⊥ a por P, r ∩ a = {PO},
P1 ∈ opPOP / P1PO = POP,
s // a por P1,
P’ ∈ s / P’P1 = P1P y (PP1P’ ) antihorario.
8.- Dado O ∈ π y definimos f O, -3 : π → π como sigue:
f(O)=O
si P ≠ O → f ( P ) = P’ con P’ ∈ opOP / OP’ = 3.OP.

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Ficha 1: Funciones enel plano – Isometrías.

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Geometría – Unidad 2

9.- Dados A, B ∈ π definimos f A, B : π → π como sigue:
si P∈ AB → f ( P ) = P’ con P’ ∈ AB, P’B = PA y PP’ = AB.
si P ∉ AB → f ( P ) = P’ y para hallar P’ se traza r ⊥ a por P,
r ∩ a = {PO}, P1 ∈ opPOP / P1PO = POP,
P’ es el cuarto vértice del paralelogramo (P1ABP’).
10.- Dado O ∈ π definimos f O : π → πcomo sigue:
f(O)=O
si P ≠ O → f ( P ) = P’ siendo el triángulo (OPP’ ) rectángulo en P y horario.
11.- Defina su propia función del plano en el plano y responda a las cuestiones iniciales.

Definición: llamaremos función de A en B a toda relación de A en B tal que todo elemento de A tiene un único
correspondiente en B.
f : A → B es función ⇔ i) f ⊂ AxB
ii) ∀ a ∈A, ∃ b∈B / (a,b) ∈ f
iii) si(a,b) ∈ f ∧ (a,c) ∈ f → b = c
Al conjunto A lo llamaremos Dominio de la función f.
Como notación usaremos: Dom( f )
Al conjunto B lo llamaremos Codominio de la función f.
Notación: Cod( f )
Definición: Diremos que dos funciones f : A → B y g : A → B son iguales si y sólo si f(x) = g(x) ∀ x ∈ A.
f:A→B
g:A→B
f = g ⇔ f(x) = g(x) ∀ x ∈ A
Definición: llamaremos Recorrido de la función f alconjunto de elementos de B que admiten un antecedente en A.
Rec ( f ) = {y ∈B / (x,y) ∈ f }
Definición: diremos que la función f : A → B es inyectiva si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas
en el codominio.
f : A → B es inyectiva ⇔ ∀x'∈A, ∀x''∈A, x' ≠ x'' → f (x') ≠ f (x'')
que es equivalente a decir:
f : A → B es inyectiva ⇔ ∀x'∈A, ∀x''∈A, f (x') = f (x'') → x' ≠ x''...