lenguaje algebraico

´
Rub´n A. Agueda-Alt´zar
e
u

Variedades Algebraicas
y Esquemas
Una introducci´n a la Geometr´ Algebraica
o
ıa

´
Rub´n Alejandro Agueda Alt´zar
e
u
ruben.agueda@ciencias.unam.mx
Departamento de Matem´ticas
a
Universidad Nacional Aut´noma de M´xico
o
e

Pr´logo
o
Estamos haciendo un libro,
testimonio de lo que no decimos.
Reunimos nuestro tiempo, nuestros dolores,nuestros ojos, las manos que tuvimos,
los corazones que ensayamos;
nos traemos al libro,
y quedamos, no obstante,
m´s grandes y m´s miserables que el libro.
a
a
El lamento no es el dolor.
El canto no es el p´jaro.
a
El libro no soy yo, ni es mi hijo,
ni es la sombra de mi hijo.
El libro es s´lo el tiempo,
o
un tiempo m´ entre todos mis tiempos,
ıo
un grano en la mazorca,
un pedazode hidra.
Jaime Sabines. Tarumba, 1956.

Prefacio

La memoria que ahora tiene entre manos pretende dar una introducci´n a
o
la as´ llamada Geometr´ Algebraica Abstracta. Puesto que la empresa es ya
ı
ıa
de por s´ ambiciosa (el material es ampl´
ı
ısimo y los enfoques muy diversos),
centramos nuestros esfuerzos en desarrollar la noci´n de Esquema y en discutir
o
por qu´ es lageneralizaci´n correcta a la noci´n de Variedad Algebraica.
e
o
o

Esquemas: hacia una historia del concepto
H´gase cualquier pregunta sobre la situaci´n actual de una disciplina, segua
o
ramente encontrar´, si no una respuesta precisa, variadas pistas para respona
derla si se ocupa en hurgar en el pasado. Si su disciplina son las Matem´ticas,
a
las cosas no son muy diferentes.1
Losfundamentos
Es prudente hablar de los fundamentos de la Geometr´ Algebraica Cl´sica
ıa
a
con Hilbert y sus sucesores: Noether, Krull, van der Waerden; bas´ndose ´sta en
a
e
la teor´ de ideales de polinomios, cuyos resultados m´s importantes han sido
ıa
a
recopilados por M. Gr¨bner en su Moderne Algebraische Geometrie, de 1949.
o
Despu´s de la aparici´n en 1946 del libro de A. Weil, Foundationsof Algebraic
e
o
Geometry, la teor´ de valuaciones y de campos jug´ un papel importante y
ıa
o
fueron los “fundamentos” com´nmente aceptados en su tiempo. Weil introduce
u
nuevos objetos de estudio: las variedades algebraicas abstractas, entendidas como conjuntos algebraicos sobre campos arbitrarios, as´ como el lenguaje de los
ı
“puntos gen´ricos”. Pero es con O. Zariski y su escuela(P. Samuel, Cohen, etc.)
e
que los m´todos del ´lgebra conmutativa son aplicados a la geometr´ algee
a
ıa
braica, en particular, se introduce el ´lgebra local, como puede verse en el libro
a
de P. Samuel M´thodes d’Alg`bre Abstraite en G´om´trie Alg´brique, de 1955.
e
e
e e
e
As´ las cosas, el art´
ı
ıculo [Fac] de J. P. Serre sobre gavillas algebraicas coherentes es el detonante paraun proceso subsecuente de reorganizaci´n de los funo
´
damentos. En ´l se introduce los m´todos del Algebra Homol´gica y se extiende
e
e
o
1 Esta

secci´n est´ basada en [Die], [Cil] y, principalmente, en [Dol].
o
a

iv

Prefacio

v

la noci´n de variedad algebraica a la noci´n de espacio algebraico de Serre. Sin
o
o
embargo, otros puntos de vista son desarrollados por C.Chevalley (los esquemas de Chevalley) en Fondements de la G´om´trie Alg´brique, de 1958 y por
e e
e
M. Nagata en A general theory of Algebraic Geometry over Dedekind domains
(Amer. J. Math., 78, No. 1, 78-116) de 1956.
Es A. Grothendieck, en 1958, quien desarrolla y generaliza las ideas de Serre,
introduciendo el lenguaje de la Teor´ de Categor´ a la Geometr´ Algebraica,
ıa
ıas
ıa
que lepermite generalizar la noci´n de variedad algebraica y sentar las bases
o
de la Teor´ de Esquemas. Con la publicaci´n del tratado [EGA I-IV] (en coıa
o
laboraci´n con J. Dieudonn´), sus nuevas ideas preparan terreno firme para
o
e
el desarrollo subsecuente y son ahora com´nmente aceptadas. Esta teor´ ha
u
ıa
permitido el regreso a los problemas no resueltos de generaciones anteriores,...