lenguaje

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Notación

(

)

Definición
Es una de las distribuciones de probabilidad más útiles (control de calidad,
producción, investigación). Tiene que ver con el experimento aleatorio que produce
en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente
excluyentes: ocurrencia de un criterio o característica específico (llamado éxito) y no
ocurrencia de éste(llamado fracaso). Los términos o calificativos de "éxito y fracaso"
son solo etiquetas y su interpretación puede no corresponder con el resultado
positivo o negativo de un experimento en la realidad.
Ejemplo
Éxito podría ser hallar en un ensayo específico que la unidad es defectuosa al
examinarla. Cada experimento aleatorio consiste en una serie de ensayos o pruebas
repetidas realizadas enidénticas condiciones (n veces), o sea que cada uno de ellos es
independiente de los demás.
Sea la probabilidad de éxito cada vez que el experimento se realiza y
la
probabilidad de fracaso. Sea la variable aleatoria que representa el número de
éxitos en los n ensayos o pruebas. El interés se centra en conocer la probabilidad de
)
obtener exactamente éxitos en esos n ensayos. (
Criterios opropiedades para definir la Distribución Binomial
Resumiendo, podemos definir estos criterios:
1. El experimento aleatorio consiste en n ensayos o pruebas repetidas, e idénticas
y fijadas antes del experimento (pruebas de Bernoulli). Son pruebas con
reemplazamiento o con reposición.
2. Cada uno de los ensayos o pruebas arroja solo uno de dos resultados posibles
resultados: éxito o fracaso.
3. Laprobabilidad del llamado éxito (ocurrencia) , permanece constante para
cada ensayo o prueba.
4. Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es independiente de
las demás.
Cuando estas propiedades se cumplen en el experimento aleatorio se dice que el
constituye un proceso de Bernoulli y cada uno de los ensayos que lo conforman se
llama experimento de Bernoulli.
1

5. Elinterés recae en hallar la probabilidad de obtener
realizar ensayos del mismo E.A.
La función de probabilidad de
( )

(

)

número de éxitos al

en esas condiciones será:
(

( )
{

entero y

)

. ( )

(

)

Características de la distribución binomial.
Tendencia central: Valor Esperado, aplicando la definición de valor esperado
( ) ∑ ( ) se obtiene que para estadistribución :
( )
[(
Dispersión ó variación: Varianza:
conduce a que una v.a. binomial X tiene como varianza
Por lo tanto su desviación estándar:

(

√

)

) ]

∑(

)

(

( ) lo que

)

√

Ejemplo
Una empresa adoptó un proceso de control ded calidad consistente en diariamente
seleccionar al azar 20 unidades del total producido y conocer el número de unidades
defectuosas. El planestablece que si al examinar diariamente las veinte unidades, tres
o más salen defectuosas, algo está pasando y se ordena detener el proceso productivo
para buscar la falla. Cuál es la probabilidad de que se ordene parar el proceso
productivo si se sabe por experiencia que la probabilidad de una unidad defectuosa es
10%?
(

(
(

)

)

)
(

} Datos del problema

)

(

)

()

∑

(

)

La solución más corta para este planteamiento sería entonces:

2

∑

(

)

(

)

(
[ (

)
)

∑(
(

)

)
(

[

)]
]

sea 32%: que será la probabilidad de que cualquier día se ordene parar el proceso de
producción según el planteamiento de control del mismo.
Si consideramos las características, tenemos:
Valor esperado
Varianza

unidadesdefectuosas.
(

)

Valores que como es lógico también pueden ser hallados por el método tradicional.
Ejercicios Propuestos
1. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el
punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4
amigos son aficionados a la lectura:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la
novela 2 personas?
b. ¿Y...