Levitron

Estabilización del Levitron a través de
forzamiento paramétrico
Abraham De la Rosa Ibarra

Índice general
Introducción
1. Modelo Matemático del Levitron
1.1. Energía Cinética . . . . . . . . . . .
1.2. Energía Potencial . . . . . . . . . . .
1.3. Ecuaciones de Movimiento . . . . . .
1.3.1. Análisis Local . . . . . . . . .
1.3.2. Perturbaciones Paramétricas

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2. Análisis Numérico Sobre las Ecuaciones del Levitron
2.1. Modelo Hamiltoniano del Levitron . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Solución Simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Solución No Simétrica . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Modelo del Levitron con Disipación . . . . . . . . . . . .
2.3. Modelo con Disipación y Forzamiento Paramétrico .. .

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Conclusión

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Introducción
El Levitron es un juguete que consiste de dos piezas; un pequeño cuerpo
axisimétrico (por ejemplo un pequeño trompo o peonza simétrica) de masa uniforme y con magnetización paralelaa su eje de simetría, la segunda pieza es una
base magnética especialmente construida de forma cuadrangular (como veremos mas adelante esto no es estrictamente necesario) con una región circular en
el centro no magnetizada. El juego consiste en hacer girar la peonza simétrica
sobre la base magnética y después desplazar la peonza a una altura en donde
permanece levitando.
z
B(r)

r

a
y

Basemagnética
x

Figura 1: Levitron sobre base magnética
La levitación magnética de cuerpos giratorios fue descubierta por el inventor Roy Harrigan, quien construyó una base cuadrangular que proporcionó un
campo magnético favorable para este tipo de fenómeno, calibró el volumen del
cuerpo, su masa y encontró los momentos inerciales y magnéticos adecuados
para lograr la levitación persistente de estecuerpo. Harrigan obtuvo la patente
de este juguete en 1983.
Si bien el teorema de Earnshaw de 1842 (ver [4]) establece las reglas de levitación magnética para dipolos estáticos no queda claro como es que el Levitron

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funciona. Uno de los primeros intentos por explicar como funciona el Levitron
fue hecho por B. Hones en 1995, un fabricante de este juguete que tuvo relación
con Harrigan, sin embargodicha explicación no fue suficiente pues afirmaba que
la levitación sobre una base circular era imposible, lo cual no es verdad. Los
primeros intentos teóricos por explicar la dinámica de este dispositivo fueron
hechos en dos artículos principalmente el de M. V. Berry [1] y el de M. D. Simon, L. O. Heflinger y S. L. Ridgway [9] a finales de 1996. El primero de estos
artículos ofrece un estudioteórico del dispositivo haciendo uso de la formulación
Hamiltoniana para plantear un sistema de 12 ecuaciones diferenciales (6 grados
de libertad), después con teoría adiabática demuestra que la levitación persistente es posible sólo para cierto rango de velocidades de giro, es decir que si la
velocidad de giro de la peonza es o muy pequeña o muy alta ésta caerá. También hace patente la importancia dela precesión de la peonza para que pueda
levitar persistentemente. El segundo de los artículos se refiere al de M. V. Berry
haciendo experimentos físicos y algunos numéricos para confirmar estos hechos.
Más tarde H. R. Dullin y R. W. Easton [3] ofrecen otro estudio de las ecuaciones
12 ecuaciones de movimiento del Levitron que permite predecir las velocidades
máximas que puede tener la peonzapara que no caiga. En particular el estudio local del punto de equilibrio del sistema asi como el de la región invariante
que encuentran, resultan útiles para el análisis numérico de las ecuaciones. Otro
trabajo que aporta nuevos elementos al estudio de la dinámica del Levitron es
el de R. F. Gans, T. B. Jones y M. Washizu [5] ya que construyen constantes
adimensionales para efectuar simulaciones...