Ley de cosenos

Ley del Coseno 1
Ley del Coseno
Dado un triángulo ABC, con lados a, b y c, se cumple la relación:
c2 = a2 + b2 −2abcosC
(Observe que la relación es simétrica para los otros lados del triángulo.)
Para demostrar este teorema, dibujemos nuestro triángulo ABC, y tracemos la
altura AD hacia el lado BC.
Es fácil observar que el triángulo ABD es rectángulo en D. Por lo tanto, por el
teorema dePitágoras, tenemos que:
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
c AD BD
c AD ( a CD)
c a (AD CD ) aCD
CD
c a b abcosC NotequecosC .
b
= +
= + −
= + + −
= + −  = 

Aplicando el mismo procedimiento a los otros lados del triángulo obtenemos las
siguientes relaciones:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
c a b ab cosC
a b c bc cos A
b a c ac cosB
= + −
= + −
= + −
No hay queolvidar la importancia de este teorema, pues nos puede servir en algún
momento para hallar las longitudes de ciertos lados de triángulos o en ocasiones
conocer la medida del ángulo que forma dos rectas.
Vemos cómo funciona, con unos cuántos ejemplos:
A B
C
D
b
c
a
Ley del Coseno 2
Ejemplo 1.
Dos lados de un triángulo miden 6 y 10, y el ángulo que forman es de 120°.
Determine la longituddel tercer lado.
Solución.
Supongamos que a = 6, b = 10,
C=120° , y el tercer lado es c. Entonces por la
Ley de Cosenos tenemos que:
2 2 2
2 2 2
2
2
2
6 10 2 6 10 120
1
36 100 2 6 10
2
196
c a b abcosC
c ( )( )cos
c ( )( )
c
= + −
= + − °
= + −  − 

=
Por lo tanto c = 14.
Ejemplo 2.
Un triángulo ABC tiene lados AB = 3, BC = 1 y AC = 2. Determine las medidas
de susángulos.
Solución.
En este caso, tenemos que c = 3, a = 1 y b = 2. Entonces aplicando la ley de
Cosenos obtenemos:
( )
2 2 2
2
2 2
2
3 1 2 2 1 2
1
2
c a b abcosC
 ( )( )cosC
cosC
= + −
= + −
 =
Por lo tanto
C= 60° .
Por otra parte tenemos que:
( ) ( ) ( )( )
2 2 2
2
2 2
2
1 2 3 2 2 3
3
2
a b c bc cos A
 cos A
 cos A
= + −
= + − =
Por lo tanto
A= 30° .
Así, calculamos el tercer ángulo:
B =180° −
A−
C =180° − 30° − 60° = 90° .
Luego, el triángulo tiene ángulos de 30°, 60° y 90°.
Ley del Coseno 3
Ejercicios
1. Muestra que en un triángulo de lados 4, 5, 6 uno de los ángulos es el doble del
otro.
2. Si en un triángulo ABC se cumple
C =2
B , demuestre que 2 c = (a + b)b .
3. La siguiente figura estáformada por seis cuadrados de áreas 1 2 3 1 2 3 S ,S ,S ,T ,T ,T .
Demuestre que
1
3 1 2 3 1 2 3 S + S + S = (T +T +T ) .
4. ABC es un triángulo tal que a = 12, b + c = 18 y cos A =
7
38
cos A= . Demuestre
que 3 3 3 a = b + c .
Ley del Paralelogramo
En un paralelogramo, la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de
los cuadrados de los lados.
En otras palabras, lo quetenemos es lo siguiente: Dado un paralelogramo ABCD,
se cumple la relación:
2 2 2 2 2 2 AC + BD = AB + BC +CD +DA .
Lo cual podemos escribirla en la forma 2 2 2 2 AC + BD =2(AB + BC ) .
Vamos a demostrarlo de la forma fácil, usando Ley de Cosenos.
Ley del Coseno 4
Fijémonos en los triángulos ABC y ABD que contienen precisamente las diagonales
AC y BD. Aplicando la ley de Cosenos en el triánguloABC obtenemos:
AC2 = AB2 + BC2 −2(AB)(BC)cos ABC (1)
Ahora, aplicando la ley de Cosenos al triángulo ABD obtenemos:
2 2 2 BD = AB + AD −2(AB)(AD)cosBAD (2)
Sumando (1) y (2) miembro a miembro obtenemos:
(Usando que BC=AD y cos ABC = −cosBAD por ser ángulos suplementarios.)
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
2 2 2
2 2
2
AC AB BC (AB)(BC)cos ABC
BD AB AD (AB)(AD)cosBAD
ACBD AB BC BC (AB)(BC)cos ABC (AB)(BC)( cos ABC)
AC BD AB BC
AC BD (AB BC )
= + −
= + −
+ = + + − − −
+ = +
+ = +
Con esto completamos la demostración de la Ley del Paralelogramo.
Teorema de Stewart
Si X es un punto sobre el lado BC (o su prolongación) de un triángulo ABC, tal que
BX m
XC n
=, entonces:
2 2 2
2
2
b m c n a mn
AX
m n (m n)
+
= −
+ +
.
Demostración.
Considere...