Ley de enfriamiento de Newton

LEY de ENFRIAMIENTO de NEWTON

                INTRODUCCIÓN
              La transferencia de calor está relacionada con los cuerpos calientes y fríos llamados; fuente y receptor, llevándose a cabo en procesos como condensación, vaporización, cristalización, reacciones químicas, etc. en donde la transferencia de calor, tiene sus propios mecanismos  y cada uno de ellos cuenta con sus peculiaridades. La transferencia de calor es importante en los procesos, porque es un tipo de energía que se encuentra en transito, debido a una diferencia de temperaturas (gradiente), y por tanto existe la posibilidad de presentarse el enfriamiento, sin embargo esta energía en lugar de perderse sin ningún uso es susceptible de transformarse en energía mecánica por ejemplo; para producir trabajo, generarvapor, calentar una corriente fría, etc. En virtud de lo anterior es importante hacer una introducción al conocimiento de los procesos de transferencia de calor a través de la determinación experimental de la ecuación empírica que relaciona la temperatura de enfriamiento de una cantidad de sustancia con respecto al medio.
Experimentalmente se puede demostrar y bajo ciertas condiciones obtener unabuena aproximación a la temperatura de una sustancia usando la Ley de Enfriamiento de Newton. Esta  puede enunciarse de la siguiente manera: La temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Suponiendo que la constante de proporcionalidad es la misma ya sea que la temperatura aumente o disminuya, entoncesla ecuación diferencial de la ley de enfriamiento es:
(1)

 
Donde:
    T = Temperatura de un cuerpo
                                     t = tiempo
          Tm = Temperatura del medio ambiente
   
Procediendo a la solución de la ecuación (1) y separando variables
 
(2)
       
 
integrando cada miembro de la ecuación
 
(3)

 
Obtenemos
 
(4)

 
y por tanto la ecuacióninversa es;
 
(5)
      
 
(6)
      
Si:
(7)
             
 
(8)
     
 
(9)
         

Ejemplo: Un termómetro marca la temperatura de un sistema igual a 80°C., se mide también la temperatura del medio la cual es de 20°C. El sistema se empieza a enfriar y tres minutos después se encuentra que el termómetro marca 75°C.  se desea predecir la lectura del
termómetro para variostiempos posteriores, por lo tanto se requiere determinar la ecuación del enfriamiento en función de los valores dados.
 
Representemos por "T" (°C.) la temperatura marcada por el termómetro, al tiempo "t" (min.). Los datos indican que cuando t = 0.0; T = 80.0, y cuando t = 3.0 min., T = 75°C.
 
De acuerdo con la ecuación (9) de la ley de enfriamiento de Newton, la velocidad de variación de latemperatura con el tiempo, dT/dt, es proporcional a la diferencia de temperaturas (T - 20.0). Ya que la temperatura que marca el termómetro está decreciendo, entonces (-k) resulta la constante de proporcionalidad. Así "T" debe ser determinada de la ecuación diferencial, por lo tanto necesitamos conocer las lecturas del termómetro en dos tiempos diferentes, debido a que hay dos constantes que deben serdeterminadas, "k" de la ecuación (1) y la constante de "integración" que se encuentra en la solución de la misma.
 
Así que bajo  las condiciones dadas:
 
(10)
cuando t = 0.0 ; T = 80.0
 
y transcurrido un cierto tiempo de enfriamiento
 
(11)
cuando t = 3.0 ; T = 75.0
 
de la ecuación (9) se sigue inmediatamente que debido a que la temperatura ambiente es igual a 20 °C. entonces:
T= 20 + Ce-kt
Entonces; la condición (10) nos indica que 80 = 20 + C y por lo tanto la constante de integración es: C = 60, de tal forma que tenemos que la ecuación anterior resulta:
 
(12)
T = 20 + 60e-kt
 
El valor de "k" será determinado ahora usando la condición (11). Haciendo t = 3.0 y T = 75 por lo que con la ecuación (12) obtenemos
 
(13)
75 = 20 + 60e-kt
 
realizando el despeje...