ley de gauss

Ley de Gauss


La ley de Gauss relaciona el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada con la carga neta incluida dentro de la superficie. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que resultan de distribuciones simétricas de carga, tales como una corteza esférica o una línea infinita.


La figura izquierda muestra una superficiede forma arbitraria que incluye un dipolo. El número de líneas que salen de la carga es exactamente igual al número de líneas que entran en el mismo recinto y terminan en
la carga negativa. Si contamos el número que sale como positivo y el número que entra como negativo, el número neto que sale o entra es cero. En otras distribuciones de carga, como ocurre en la figura derecha, el númeroneto de líneas que sale por cualquier superficie que encierra las cargas es proporcional a la carga encerrada dentro de dicha superficie. Este es un enunciado cualitativo de la ley de Gauss.


La magnitud matemática relacionada con el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recib e el nombre de flujo eléctrico, cuya definición general es :



E dAFrecuentemente estamos interesados en conocer el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada, que viene dado por





neto
E dA

La figura muestra una superficie esférica de radio R con su centro en la carga puntual Q. El campo eléctrico en un punto cualquiera de la superficie es perpendicular a la superficie y tiene la magnitud
E kQ
r 2


El flujo neto a través de estasuperficie esférica es




neto
E dA
E// dA
EdA
E dA EA


en donde E ha salido de la integral por ser constante en todos los puntos. La integral de dA extendida a toda la superficie es precisamente el área total, igual a
4 R2 .


Sustituyendo E
kQ
R 2 y A


4 R 2



se obtiene




neto
kQ 4 R 2
R 2

4k Q

Idéntico resultado hubiéramos obtenido si lasuperficie fuese irregular. Si se trata de sistemas de más de una carga puntual como en la figura, el flujo neto a través de la superficie cerrada señalada es igual a




neto
4k (q1
q 2 )

Es costumbre escribir la constante de Coulomb k en función de la permitividad del vacío:
k 1
4 o


Qdentro

de modo que la ley de Gauss se escribe
neto
o

Cálculo del campo eléctrico mediante la leyde Gauss


En algunas distribuciones de carga altamente simétricas, tales como una esfera uniformemente cargada o una línea infinita de carga, es posible determinar una superficie matemática que por simetría posee un campo eléctrico constante perpendicular a la superficie. A continuación puede evaluarse fácilmente el flujo eléctrico a través de esta superficie y utilizar la ley de Gauss pararelacionar el campo eléctrico con la carga interior a la superficie. Una superficie utilizada para calcular el campo eléctrico mediante la ley de Gauss se denomina superficie gaussiana. En esta sección utilizaremos dicho método para calcular el campo eléctrico producido por diferentes distribuciones simétricas de carga.

Campo eléctrico E próximo a una carga puntual



superficiegaussiana, elegimos una superficie esférica de radio r centrada en la carga.
E es radial y su magnitud depende sólo de la distancia a la carga.
E tiene el mismo valor en todos los puntos de nuestra superficie esférica.


El flujo neto a través de esta superficie es, pues,





neto
E dA
EdA
E dA
EA E 4 r 2


Pero la ley de Gauss nos da
Qdentro

neto
o



E 1 QIgualando obtenemos 2
4 o r

Campo eléctrico E próximo a un plano infinito de carga


Densidad de carga uniforme
Por simetría el campo eléctrico debe: ser perpendicular al plano. depender sólo de la distancia z del plano al punto del campo.
tener el mismo valor pero sentido opuesto en los puntos situados a la misma distancia por arriba y por debajo del plano
Escogemos como superficie...