Ley de gauss

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA DEPTO.DE FÍSICA

ELECTROMAGNETISMO (FIS-620)
INGENIERIA PLAN COMUN

PROBLEMAS RESUELTOS DE CONTROLES, PRUEBAS Y EXAMENES PRIMER SEMESTRE 2005 A PRIMER SEMESTRE 2007

Tema II: Ley de Gauss.
PROBLEMA II.1: Una esfera sólida no conductora de radio R posee una densidad de carga uniforme ρ. Determine: a) el flujo del campo eléctrico ΦE que atraviesa unasuperficie esférica de radio 2R, concéntrica con la esfera cargada, b) el flujo del campo eléctrico que atraviesa una superficie esférica de radio R/2, concéntrica con dicha esfera. SOLUCION: a) Según la ley de Gauss:

φ E ( neto ) = ∫ E • dA =
S

r

r

Qint

ε0

= 4πkQint .

Entonces, para calcular el flujo del campo eléctrico que atraviesa la superficie esférica de radio 2R, bastaencontrar la carga total encerrada por dicha superficie, es decir:
3 ρ ⋅ Vesfera ρ ⋅ 3 πR 4 πρR 3 16 2 φE = = = = π kρR 3 3 ε0 3 ε0 ε0

4

b) Análogamente, para el flujo eléctrico que atraviesa la superficie esférica de radio R/2 se tiene:

φE =

ρ π ( )3 ε0

4 3

R 2

=

1 πρR 3 2 2 = π kρR 3 6 ε0 3

Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) /FIS-620 / Edición Piloto

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PROBLEMA II.2: Una esfera sólida no conductora de radio R = 0,5 m contiene una carga eléctrica uniformemente distribuida. a) Determine la carga de la esfera si la magnitud del campo eléctrico a una distancia r = 10 m del centro de la esfera es E = 1×105 V/m. b) Si la densidad de carga de la esfera es ρ = 5×10-3 (C/m3) , determine el potencial eléctrico en un puntoubicado a 10 m del centro de la esfera. c) Si ρ = 5×10-3 (C/m3), determine el flujo eléctrico que atraviesa una superficie esférica de radio r = 0,25 m , concéntrica con la esfera cargada. d) Si la carga de la esfera es Q = 6×10-3 C , determine el campo eléctrico en un punto ubicado a 0,4 m de su centro. SOLUCION: a) En cualquier punto fuera de una esfera cargada la magnitud del campo eléctrico esPor lo tanto

kQ r2 E ⋅ r 2 1 ⋅ 10 5 ⋅ 10 2 1 Q= = = ⋅ 10 − 2 = 1,1 ⋅ 10 −3 C k 9 9 ⋅ 10 9 E=

b) El potencial en cualquier punto fuera de la esfera cargada es

V =
donde Por lo tanto c) Por Gauss, de modo que

kQ r

(tomando V=0 para r → ∞ ),

4 Q = ρ ⋅ Vol = ρ ⋅ πR 3 3 3 4πkρR 4π ⋅ 9 ⋅ 10 9 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,5 3 = V = = 2,36 ⋅ 10 6 V 3r 3 ⋅ 10

φ neto = 4πkQint ,
16 2 16 π kρr 3 =π 2 ⋅ 9 ⋅ 10 9 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,25 3 = 3,70 ⋅ 10 7 Vm 3 3

φ neto = 4πkρ ⋅ πr 3 =

4 3

d) Estamos en el interior de la esfera cargada. Para calcular el campo eléctrico en un punto interior, elegimos como superficie gaussiana una superficie esférica de radio r, concéntrica a la esfera cargada. Usando Gauss:

φ neto = ∫ E • dA = 4πkQint , donde
S

r

r

Qint r3 = 3 Q R

por estarla carga uniformemente distribuida en la esfera. Entonces

Material Instruccional ( Departamento de Física, UTEM, 2º Semestre 2007) / FIS-620 / Edición Piloto

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E ⋅ 4πr 2 = 4πkQ

r3 R3

⇒

E=

kQr 9 ⋅ 10 9 ⋅ 6 ⋅ 10 −3 ⋅ 0,4 V = = 1,73 ⋅ 10 8 3 3 m R 0,5

PROBLEMA II.3: Se tiene una carga puntual q en el centro de una corteza esférica de radio a. La corteza posee una carga total Quniformemente distribuida en su superficie. a) Usando la ley de Gauss, encuentre el campo eléctrico en puntos dentro y fuera de la corteza cargada (ra). Q Indique la superficie gaussiana elegida en cada caso. b) Sea a = 30 cm el radio de la corteza esférica. Si el campo eléctrico a una distancia r1 = 15 cm del centro es q

r N ˆ E1 = 1,2 ⋅ 10 6 r ( ) y a una distancia r2 = 60 cm es C r N ˆ E 2= 2,5 ⋅ 10 4 r ( ) , determine las cargas q y Q. C

a

SOLUCION: a) Campo eléctrico para r < a . Se toma una superficie gaussiana esférica concéntrica con la carga q, de radio r < a. Usando Gauss

ˆ φ neto = ∫ E • ndA = ∫ E ⋅ dA =E ∫ dA = E ⋅ 4πr 2 = 4πkQint =
S S S

r

Qint

ε0

Como

Qint = q

⇒

r kq q ˆ ˆ E= 2r= r 4πε 0 r 2 r Qint

Campo eléctrico para r > a. Tomando...