Ley de gauss

Ley de Gauss
En física y en análisis matemático, la ley de Gauss relaciona el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada y la carga eléctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, también relaciona la divergencia del campo eléctrico con la densidad de carga.

Flujo del campo eléctrico

El flujo (símbolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a unasuperficie hipotética que puede ser cerrada o abierta. Para un campo eléctrico, el flujo ( ) se mide por el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie.
Para definir a con precisión considérese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo eléctrico.
La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno de los cuales es losuficientemente pequeño como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de área pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia área, la dirección es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.
En cada cuadrado elemental también es posible trazar un vector de campo eléctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeños como se quiera, puede considerarse constante en todoslos puntos de un cuadrado dado.
y caracterizan a cada cuadrado y forman un ángulo entre sí y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.
El flujo, entonces, se define como sigue:

O sea:

Flujo para una superficie cilíndrica colocada en un campo uniforme
Supóngase una superficie cilíndrica colocada dentro de un campo uniforme tal como muestra la figura:

El flujopuede escribirse como la suma de tres términos, (a) una integral en la tapa izquierda del cilindro, (b) una integral en la superficie cilíndrica y (c) una integral en la tapa derecha:

Para la tapa izquierda, el ángulo , para todos los puntos, es de π, tiene un valor constante y los vectores son todos paralelos
Entonces:

siendo el área de la tapa. Análogamente, para la tapa derecha:Finalmente, para la superficie cilíndrica:

Por consiguiente: da cero ya que las mismas líneas de fuerza que entran, después salen del cilindro.

Flujo para una superficie esférica con una carga puntual en su interior


Considérese una superficie esférica de radio r con una carga puntual q en su centro tal como muestra la figura. El campo eléctrico es paralelo al vector superficie , yel campo es constante en todos los puntos de la superficie esférica.
En consecuencia:


Forma integral de la ley de Gauss
Su forma integral utilizada en el caso de una distribución extensa de carga puede escribirse de la manera siguiente:

donde Φ es el flujo eléctrico, es el campo eléctrico, es un elemento diferencial del área A sobre la cual se realiza la integral, QA es la cargatotal encerrada dentro del área A, ρ es la densidad de carga en un punto de V y εo es la permitividad eléctrica del vacío.

Forma diferencial de la ley de Gauss
Tomando la ley de Gauss en forma integral.

Aplicando al primer termino el teorema de Gauss de la divergencia queda

Como ambos lados de la igualdad poseen diferenciales volumétricas, y esta expresión debe ser cierta para cualquiervolumen, solo puede ser que:

Que es la forma diferencial de la Ley de Gauss (en el vacío).
Esta ley se puede generalizar cuando hay un dieléctrico presente, introduciendo el campo de desplazamiento eléctrico . de esta manera la Ley de Gauss se puede escribir en su forma mas general como

Finalmente es de esta forma en que la ley de gauss es realmente útil para resolver problemas complejosde maneras relativamente sencillas.

Ley de Coulomb
Este teorema aplicado al campo eléctrico creado por una carga puntual es equivalente a la ley de Coulomb de la interacción electrostática.


Deducción de la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb
La ley de Gauss puede deducirse matemáticamente a través del uso del concepto de ángulo sólido, que es un concepto muy similar a los...