Ley De Gauss

La Ley de Gauss




1. Introducci´on

− La ley de Gauss desempen~a un papel importante dentro de la electrosta´tica y del elec- tromagnetismo por dos razones ba´sicas:

1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo el´ectrico debido
a una distribucio´n de cargas cuando ´esta presenta buenas propiedades de simetr´ıa. En estos casos, sueleresultar mucho ma´s simple usar la ley de Gauss que obtener E por integracio´n directa sobre la distribucio´n de cargas, tal y como se ha descrito en
el tema anterior.

2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley ba´sica, no so´lo de la electrosta´tica, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una de las ecuacionesde Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los feno´menos electromagn´eticos).

− Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuacio´n matema´tica que relaciona
el campo el´ectrico sobre una superficie cerrada con la carga el´ectrica encerrada en su interior.

− La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usandoel concepto
de l´ıneas de campo. Como se vio´ en el tema anterior, el nu´mero de l´ıneas de campo que parten de una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si una superficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el nu´mero total de l´ıneas que pasan
a trav´es de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior (ver Fig. 1). Adema´s,como se puede apreciar en la figura, el nu´mero de l´ıneas debe ser independiente de la forma
de la superficie que encierra a la carga. Este es esencialmente, desde un punto de vista cualitativo, el significado de la ley de Gauss: el nu´mero de l´ıneas de campo que atraviesan una cierta superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada ensu interior.




















Figura 1:




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2. Flujo El´ectrico

− El flujo el´ectrico dΦ a trav´es de una superficie elemental da se define como el pro- ducto escalar del vector campo E en dicho punto por el vector elemento de a´rea da (ver Fig. 2 (a)):dΦ = E · da (1)

















Figura 2:


− El flujo total a trav´es de una cierta superficie S, a lo largo de la cual el campo E puede variar de punto a punto, se obtiene dividiendo S en pequen~os elementos de superficie ∆a,
en cada uno de los cuales E se puede suponer uniforme, y sumando elflujo a trav´es de
cada uno de estos elementos de superficie (Fig. 2 (b)),


Φ = E · ∆a =
XS ZS
E · da (2)
Por tanto, el flujo el´ectrico a trav´es de una superficie arbitraria S es igual a la integral
de superficie del campo E sobre dicha superficie.

− Si la superficie es cerrada, la integral desuperficie se suele designar mediante
que el flujo a trav´es de una superficie cerrada S se suele escribir:
IS , de modo


Φ = IS E
· da (3)
− Es conveniente hacer notar los siguientes puntos en torno al flujo el´ectrico a trav´es de una superficie:

Significado: el flujo el´ectrico a trav´es de una superficie puedeinterpretarse como una medida del nu´mero de l´ıneas de campo que atraviesan dicha superficie;
en el caso de una superficie cerrada, las l´ıneas de campo que salen a trav´es de la superficie dan una contribucio´n positiva al flujo, mientras que las l´ıneas que entran dan una contribucio´n negativa. Por tanto, el flujo el´ectrico a trav´es de una super-...