Ley De Gauss

LEY DE GAUSS S. D. Horta Departamento de Ingeniería Agrícola Universidad de Sucre, Sincelejo RESUMEN En los apartados anteriores se mostró como calcular el campo eléctrico generado por una distribución de carga dada a partir de le Ley de Coulomb. En este capítulo, se describirá la ley de Gauss como un método alternativo para el cálculo del campo eléctrico. Esta ley se basa en el hecho de que lafuerza eléctrica Fe entre cargas puntuales es una ley del inverso cuadrado. Si bien la ley de Gauss es una consecuencia de la ley de Coulomb, es mucho mas conveniente para calcular el campo eléctrico de distribuciones de carga altamente simétricas y hace posible un razonamiento cualitativo útil cuando se trata con problemas más complicados. FLUJO ELÉCTRICO Para el estudio del flujo eléctricoconsideremos un campo eléctrico uniforme tanto en magnitud como en dirección como se muestra en la figura 1. Figura 2: Superficie no perpendicular al campo eléctrico Si la superficie no es perpendicular al campo, el flujo a través de ella debe ser menor que si lo fuese. Para entender lo anterior véase la figura 2, donde la el vector normal a la superficie del área A forma un ángulo θ con el vector campoeléctrico. Adviértase que el número de líneas que pasan por A debe ser el mismo que pasa por A’, la cual es una proyección del área A alineada perpendicular al campo. De acuerdo a la figura 2, A’ = A cos θ. Ya que el flujo a través de A es igual al flujo a través de A’, se concluye

Φ E = EA ' = EA cos θ
Figura 1. Líneas de campo eléctrico penetrando una superficie de área A. De la figurapodemos notar lo siguiente: - Las líneas de campo penetran la superficie - Las líneas de campo son perpendiculares a la superficie. - El número de líneas que atraviesan la superficie son directamente proporcionales al campo eléctrico. Por lo tanto el número de líneas que penetran la superficie es proporcional a EA. “El campo eléctrico varía sobre una superficie dada” Por lo anterior nuestra definiciónsólo puede ser aplicada sobre un elemento de área ∆Ai . Consideremos una superficie mas general dividida en pequeños elementos de área (superficie) ∆Ai como se muestra en la figura 3.

⎛N ⎞ Φ E = EA → ⎜ m 2 ⎟ ⎝C ⎠
Definimos flujo eléctrico como el número de líneas proporcionales al campo eléctrico que penetran una superficie. Superficie no perpendicular a las líneas de campo. Si la superficieque se está considerando no es perpendicular al campo ¿Cómo es el flujo a través de ella?. Figura 3: Pequeño elemento se superficie que forma un ángulo con el campo eléctrico El pequeño flujo eléctrico a través de está superficie de área ∆Ai es por lo tanto:

∆Φ i = Ei ∆Ai cos θ
El flujo total entonces se obtiene sumando todas las contribuciones de todos los elementos.

Φ = lim

∆Ai →0

∑E ∆A = ∫
i i

sup

E ⋅ dA

Casi siempre estamos interesados en superficies cerradas definiéndose estas como “aquella que divide al espacio en una región interior y otra región exterior”, por lo tanto esto nos lleva a definir el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada como:

De acuerdo con la ley de Coulomb para el campo eléctrico

E=

ke q r2

Φc =

∫ E ⋅ dAEntonces el flujo eléctrico a través del pequeño elemento de superficie tomado en la esfera es:

Ejemplo: Considere un campo eléctrico E orientado en la dirección x. Encuentre el flujo neto a través de la superficie cerrada de un cubo de lado l

Φ E = E ⋅ ∆Ai = E ∆Ai
Además para la superficie cerrada

Φc = Φc =

∫ E ⋅ dA = EA
ke q q 4π r 2 ) = 2 ( ε0 r

Note que el resultado es independientede r, y además indica que el flujo neto a través de una superficie gaussiana esférica es proporcional a la carga encerrada por ésta. Para generalizar esto consideremos superficies cerradas que rodean una carga.

El flujo neto se evalúa por todas las caras del cubo, esto es:

Φ neto = Φ1 + Φ 2 + Φ 3 + Φ 4 + Φ 5 + Φ 6 = ∫ E ⋅ dA + ∫ E ⋅ dA + ∫ E ⋅ dA +
1 2 3

∫ E ⋅ dA + ∫ E ⋅ dA + ∫ E ⋅ dA...