Ley De Gauss

LEY DE GAUSS

La ley de Gauss es una herramienta poderosa para determinar campos eléctricos en situaciones de simetría, y relaciona el flujo eléctrico total, Φ E , a través de una superficie cerrada, con la carga neta encerrada por la superficie. Esta ley establece:

εo ∫ E ⋅ds = q ,
donde,

∫

: representa la integral sobre una superficie cerrada, en cuyo interior hay una carga

netaq, y r d s : es un elemento diferencial de superficie; en cada punto ds es un vector, y, por convención, siempre apunta hacia fuera de la superficie ( Fig. 8).

Fig. 8

r Si deseamos hallar el campo eléctrico E en una cierta región del espacio, construimos en ese espacio, una superficie cerrada, llamada superficie gaussiana. La elección de la forma y el tamaño de la superficie gaussiana esarbitraria. Suele escogerse de tal forma que sobre ella el valor del campo eléctrico sea constante, y pueda entonces factorizarse fuera de la integral.
Como ya sabemos, Φ E = ∫ E ⋅ d s , es el flujo a través de una superficie cerrada y q es la carga neta contenida dentro de la superficie, es decir, que si se tienen muchas cargas puntuales qi dentro de la superficie, la ley de gauss puede escribirse:

ε o ∫ E ⋅ d s = ∑ qi = q neta
i

LA LEY DE GAUSS Y LA LEY DE COULOMB. (Campo Eléctrico debido a una carga punto)

La ley de Coulomb puede deducirse de la Ley de Gauss. Para ello aplicamos la ley de Gauss a una carga puntual positiva q , y elegimos una superficie esférica como superficie gaussiana. Se supone que el campo eléctrico E de la carga es desconocido, pero debido a la simetría,tendrá la misma magnitud en cualquier punto de una superficie gaussiana esférica (Fig. 9).

Fig. 9 Como E es constante en todas partes de la superficie, y hace un ángulo de cero grados con d s , podemos extraer E de la integral que expresa el flujo y escribir de acuerdo con la ley de Gauss:

ε 0 ∫ E ⋅ ds = q

r

r

Si una carga de prueba + qo se sitúa en este campo, la fuerza eléctricasobre esta carga será,

F = qo E =

qqo 4πε o r 2
1

Y obtenemos de esta manera, la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss.

CORTEZA ESFÉRICA

Una corteza esférica delgada de radio R tiene una carga total Q distribuida uniformemente sobre su superficie. Determine el campo eléctrico para puntos 1. r ≥ R , es decir, fuera del cascarón 2. r < R , es decir, dentro del cascarón

Fig.10 SOLUCION

1. En la figura 10 se muestran las líneas de campo y los elementos de superficie supuesta la corteza cargada positivamente. Si construimos una superficie gaussiana esférica de radio r ≥ R , como se muestra en la figura, la ley de Gauss

ε o E (4 π r 2 ) = Q
Y despejando E tenemos Q E= , r>R 4πε o r 2

εo ∫ E ⋅ ds = Q

permite escribir

Que es igual al campo debido a unacarga puntual de magnitud Q colocada en el centro de la corteza. 2. r < R En este caso, la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero, y la ley de Gauss dice que

εo ∫ E ⋅ds = 0 ,
E=0

ε o E (4π r 2 ) = 0

, de donde

Es decir que el campo E es cero en todos los puntos interiores. En la figura (11) se muestra una gráfica de E versus r

Fig.(11)

DISTRIBUCIÓN ESFÉRICA (Esferamaciza)

Una carga Q se encuentra uniformemente distribuida en todo el volumen de una esfera no conductora de radio R . Determinar el campo eléctrico en puntos: 1. fuera de la esfera, r > R 2. dentro de la esfera, r ≤ R

Fig. 12 SOLUCIÓN v 1. En la figura 12 se muestran las líneas de campo eléctrico E , suponiendo la esfera cargada positivamente, y se muestran también las superficies gaussianaspara r > R y r < R , las cuales consisten de esferas centradas en la esfera cargada. De la ley de Gauss, εo ∫ E ⋅ ds = Q cuando r > R la carga que encierra la superficie gaussiana es exactamente Q . Debido a la simetría esférica, ε o E ∫ ds = Q

ε o E (4π r 2 ) = Q
Y despejando E tenemos

E=

Q 4πε 0 r 2

r >R

Lo mismo que obtendríamos si la carga Q fuese una carga punto colocada en...