Ley de Gauss

La Ley de Gauss
1. Introduccion
􀀀 La ley de Gauss desempe~na un papel importante dentro de la electrostatica y del electromagnetismo
por dos razones basicas:
1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo electrico debido
a una distribucion de cargas cuando esta presenta buenas propiedades de simetra.
En estos casos, suele resultar mucho mas simple usar la leyde Gauss que obtener E
por integracion directa sobre la distribucion de cargas, tal y como se ha descrito en
el tema anterior.
2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley basica, no solo de la
electrostatica, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una de
las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los
fenomenoselectromagneticos).
􀀀 Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuacion matematica que relaciona
el campo electrico sobre una supercie cerrada con la carga electrica encerrada en su
interior.
􀀀 La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usando el concepto
de lneas de campo. Como se vio en el tema anterior, el numero de lneas de campo queparten de una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si una supercie
cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el numero total de lneas que pasan
a traves de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior (ver Fig. 1). Ademas,
como se puede apreciar en la gura, el numero de lneas debe ser independiente de la forma
de la supercie que encierra a lacarga. Este es esencialmente, desde un punto de vista
cualitativo, el signicado de la ley de Gauss: el numero de lneas de campo que atraviesan
una cierta supercie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en
su interior.
Figura 1:
1
2. Flujo Electrico
􀀀 El
ujo electrico d a traves de una supercie elemental da se dene como el producto
escalar del vector campo Een dicho punto por el vector elemento de area da (ver
Fig. 2 (a)):
d = E
da (1)
Figura 2:
􀀀 El
ujo total a traves de una cierta supercie S, a lo largo de la cual el campo E puede
variar de punto a punto, se obtiene dividiendo S en peque~nos elementos de supercie
a,
en cada uno de los cuales E se puede suponer uniforme, y sumando el
ujo a traves de
cada uno de estos elementosde supercie (Fig. 2 (b)),
 =XS
E

a = ZS
E
da (2)
Por tanto, el
ujo electrico a traves de una supercie arbitraria S es igual a la integral
de supercie del campo E sobre dicha supercie.
􀀀 Si la supercie es cerrada, la integral de supercie se suele designar mediante IS
, de modo
que el
ujo a traves de una supercie cerrada S se suele escribir:
 = IS
E
da (3)
􀀀 Esconveniente hacer notar los siguientes puntos en torno al
ujo electrico a traves de
una supercie:
Signicado: el
ujo electrico a traves de una supercie puede interpretarse como
una medida del numero de lneas de campo que atraviesan dicha supercie;
en el caso de una supercie cerrada, las lneas de campo que salen a traves de la
supercie dan una contribucion positiva al
ujo,mientras que las lneas que entran
dan una contribucion negativa. Por tanto, el
ujo electrico a traves de una super-
cie cerrada es una medida del numero neto de lneas que pasan a traves de dicha
supercie, es decir, del numero de lneas que salen menos el numero de lneas que
entran;
las unidades de
ujo electrico en el sistema internacional son Newton
m2=C;
2
3. La Ley deGauss
􀀀 Ley de Gauss: el
ujo electrico neto a traves de una supercie cerrada cualquiera es
igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella dividida por "0:
 = I S
E
da =
Qint
"0
(4)
donde Qint es la carga neta en el interior de S.
􀀀 Notar los siguientes puntos en relacion a la ley de Gauss:
Signicado fsico: la ley de Gauss nos dice que el
ujo a traves de una super...