Ley de Hooke generalizada

LEY DE HOOKE GENERALIZADA
Las ecuaciones de transformación de esfuerzo obtenidas hasta el momento no
requirieron de las propiedades de los materiales. Ahora nos ocuparemos de
obtener las deformaciones unitarias en el material, lo que significa que se deben
considerar sus propiedades. Sin embargo, llevaremos a cabo nuestro análisis en
materiales que cumplan dos condiciones importantes:
Elmaterial es uniforme en todo el cuerpo y tiene las mismas propiedades
en todas las direcciones (material homogéneo e isotrópico)
El material sigue la ley de Hooke (material linealmente elástico).
 

 
ECUACIONES CONSTITUTIVAS
Consideraremos
las
deformaciones
unitarias
normales ∈! ,  ∈! ,  ∈! en esfuerzo plano. Los efectos
de dichas deformaciones que muestran los cambios
dedimensiones de un elemento infinitesimalmente
pequeño con bordes de longitud a, b, y c. Las 3
deformaciones unitarias ilustradas son positivas
(alargamientos).
Las deformaciones unitarias pueden expresarse en términos de los esfuerzos
individuales; por ejemplo la deformación unitaria ∈! en la dirección x debido a los
σ
esfuerzos σ! es igual a ! E , donde E es el módulo de elasticidad.
Además, ladeformación unitaria ∈! debida al esfuerzo σ! es igual a

−vσ!  

E,
donde v es la razón de Poisson. Por supuesto, el esfuerzo cortante τ!" no produce
deformaciones unitarias normales en las direcciones x, y o z. Entonces, la
deformación unitaria resultante en la dirección x es:
!

∈! = ! (𝜎! − 𝑣𝜎! )
 -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐
 (1)
 
Obtenemos las deformaciones unitarias en lasdirecciones y y z de manera similar:
!

!


 
 
 ∈! = ! 𝜎! − 𝑣𝜎!
 -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐
 (2)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∈! = − ! 𝜎! − 𝑣𝜎!
 -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐
 (3)
 
 

 
Estas ecuaciones pueden usarse para encontrar lasdeformaciones unitarias
normales (en esfuerzo plano) cuando se conocen los esfuerzos.

El esfuerzo cortante τ!! ocasiona una distorsión del elemento tal que cada cara z
se convierta en un rombo. La deformación unitaria cortante γ!" es la disminución
del ángulo entre las caras x y y del elemento y se relaciona con el esfuerzo
cortante mediante la ley de Hooke en cortante como sigue:
𝛾!" =

!!"
! -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐
 (4)
 


 
Donde G es el módulo de elasticidad del cortante. Obsérvese que los esfuerzos
normales σ! y σ! no afectan la deformación unitaria cortante γ!" .En consecuencia
las ecuaciones anteriores dan deformaciones unitarias (en esfuerzos planos)
cuando todos los esfuerzos (σ! , σ! , γ!" ) actúan al mismo tiempo.
Las primeras 2 ecuaciones (1 y 2) dandeformaciones unitarias ∈!  y  ∈! en
términos de los esfuerzos. Estas ecuaciones pueden resolverse simultáneamente
para los esfuerzos en términos de las deformaciones unitarias:
 
!

!

𝜎! = !!! ! 𝜖! + 𝑣𝜖!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  𝜎! = !!! ! 𝜖! + 𝑣𝜖!
 
Además, tenemos la siguiente ecuación para el esfuerzo cortante en términos de
la deformación unitariacortante:
𝜏!" = 𝐺𝛾!"
 
Estas ecuaciones son útiles para encontrar los esfuerzos (en esfuerzo plano)
cuando se conocen las deformaciones unitarias. Por supuesto, el esfuerzo normal
σ! en la dirección z es igual a 0.
Todas las ecuaciones anteriores se conocen colectivamente como ley de Hooke
para esfuerzo plano. Contienen tres constantes de material (E,G y v) pero solo dos
son independientesdebido a la relación
𝐺=

𝐸

 
2(1 + 𝑣)

TEORÍAS DE FALLA
(CRITERIOS DE FLUENCIA Y FRACTURA)
Las teorías de fractura, o más generalmente teorías de falla, tratan de predecir el
momento en que un elemento puede fallar. Dicha falla se puede describir como
una deformación plástica excesiva o en el peor de los casos fractura del elemento.

La suposición básica que constituyen el marco...