Ley De La Palanca

4 Arquímedes y la ley de la palanca
Arquímedes (ca. 287-211 a.C.) contribuyó tanto a la matemática teórica como a la aplicada y es estimado especialmente por la elegancia de sus demostraciones matemáticas. En particular, nos ocuparemos en esta sección de su demostración estática de la ley de la palanca tal como fue desarrollada en Sobre el equilibrio de los planos. En ella, Arquímedes elimina laconsideración dinámica del movimiento para centrarse en los casos de equilibrio estático y hace abstracción de consideraciones físicas de los cuerpos, tales como naturalezas y tendencias teleológicas (cf. Solís & Sellés, 2005). Si exceptuamos la afirmación de que los pesos efectivamente pesan, las consideraciones físicas no aparecen por ningún lado. El brazo de la palanca es considerado comouna línea inmaterial y los pesos se aplican a puntos geométricos (cf. Lindberg, 2002). La demostración tiene el estilo de Euclides a partir de premisas que se establecen por intuición y simetría geométrica. Los postulados de Sobre el equilibrio de los planos son los siguientes (Cohen & Drabkin, 1958, p. 186-8):
Postulado 1: Pesos iguales a distancias iguales están en equilibrio y pesosiguales a distancias desiguales no están en equilibrio sino que se inclina (la palanca) hacia el peso que está a mayor distancia.
Se sobreentiende que las distancias se miden desde el fulcro o punto de apoyo de la palanca.
Postulado 2: Si, cuando los pesos ubicados a ciertas distancias están en equilibrio, se agrega algo a uno de los pesos ya no estarán en equilibrio, sino que desciende el lado dondese ha agregado peso.
Postulado 3: Análogamente, si algo se quita de uno de los pesos, ya no permanecerán en equilibrio y desciende el peso del que no se ha quitado nada.
En los postulados 2 y 3, se considera de manera implícita que todo es pesado y que la ligereza de un cuerpo no es otra cosa que la cualidad de ser menos pesado que otro cuerpo. Por otra parte, estos postulados resultan evidentessi nos imaginamos en la situación de estar realizando pesadas en una balanza de platillos de brazos iguales.
Postulado 4: Cuando figuras semejantes son iguales y se superponen una con la otra, sus centros de gravedad coinciden.
Postulado 5: En figuras semejantes que son desiguales, los centros de gravedad estarán similarmente situados. Por puntos análogos ubicados con relación a figurassemejantes, quiero decir puntos tales que si se trazan líneas rectas desde ellos con ángulos iguales, dichas líneas forman ángulos iguales con los correspondientes lados de las figuras.
Este postulado establece que figuras semejantes, es decir de la misma "forma", pero desiguales, es decir de diferente tamaño, tendrán sus centros de gravedad en la misma posición "relativa".
Postulado 6: Si magnitudes aciertas distancias están en equilibrio, otras magnitudes iguales a ellas también estarán en equilibrio a las mismas distancias.
En este postulado, se plantea que a los efectos del equilibrio sólo son relevantes la magnitud y la distancia, con independencia de la forma o la sustancia. Es fundamental para la deducción de la ley de la palanca. Cuando Arquímedes dice "magnitudes iguales a otrasmagnitudes", quiere decir "magnitudes del mismo peso". Y cuando dice "magnitudes a ciertas distancias" quiere decir "los centros de gravedad de las magnitudes están a la misma distancia del fulcro" (Assis, 2008, p. 179).
Postulado 7: En cualquier figura cuyo perímetro es cóncavo en una y la misma dirección, el centro de gravedad debe estar dentro de la figura.
Con estos postulados, Arquímedes haconvertido un ámbito físico en una cuestión geométrica y, en el libro I deSobre el equilibrio de los planos, procede a demostrar rigurosamente siete proposiciones sobre el equilibrio.
Proposición 1: Pesos que se equilibran a iguales distancias son iguales.
Enuncia la inversa de la primera parte del Postulado 1, que se puede demostrar por el absurdo utilizando el Postulado 3. De acuerdo al...