LEY DE LA POTENCIACION

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente puedenpertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número enteroo cero.


Definición[editar]
Se llama potencia a una expresión de la forma , donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjuntonumérico al que pertenezca el exponente.
Exponente entero[editar]
Cuando el exponente es un número natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un número cualquiera:
(1)
Esta definición puede aplicarse, tanto a números reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.
Multiplicación depotencias de igual base[editar]
El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:
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Ejemplos:

Potencia de una potencia[editar]
La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplicanlos exponentes):
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Debido a esto, la notación  se reserva para significar  ya que  se puede escribir sencillamente como .
Potencia de un producto[editar]
La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:
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Si la base a tiene inverso aditivo, indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:[Expandir] si n es par.
 si n es impar.
Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que , entonces este se denota por  y el exponente se puede ampliar a todos los números enteros:
(2)
Observación

División de potencias de igual base[editar]
El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia delexponente del dividendo menos el del divisor ,1esto es:
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Ejemplo:

Potencia de exponente 0[editar]
Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:2 3

El caso particular de , en principio, no está definido [cita requerida] (ver cero).
Potencia de un cociente[editar]
La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los númeroselevado al mismo exponente.
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Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso multiplicativo , por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por (1) quedando así prohibida la notación (2) como valor numérico:


Exponente racional[editar]
Artículo principal: Radicación
La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuación del tipo , demanera que , pero se ha de garantizar que dicha x sea un número real y esto sólo se puede garantizar para toda n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:
Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.
Para notar la raíz se define el uso de fracciones en el exponente:
(3)
Observación

En general para las fracciones se defineque:
(4)
Relación
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Propiedades[editar]



Exponente real[editar]
Artículos principales: Exponenciación y Logaritmo.
La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales; esto se recoge en el siguiente teorema:
Dado un número real positivo a y una sucesión de números racionales  que tiene límite b, entonces existe el límite de la sucesión  que se...