Ley De Los Senos

UNIDAD IV. LEYES DE SENOS Y COSENOS.

OBJETIVO. El estudiante resolverá problemas leyes de senos y cosenos, teóricos o prácticos de distintos ámbitos, mediante la aplicación las leyes y propiedades de Senos y Cosenos apoyado en un análisis crítico y reflexivo para la solución de triángulos oblicuángulos, en un ambiente escolar que favorezca el desarrolló de actitudes de responsabilidad,cooperación, iniciativa y colaboración hacia el entorno en el que se desenvuelve. 4.1 Leyes de Senos y Cosenos. 4.1.1 Ley de Senos. 4.1.2 Ley de Cosenos. 4.1.3. Resolución de triángulos oblicuángulos. 4.1.4. Aplicaciones prácticas.

INTRODUCCIÓN. En la tercera unidad ya trabajaste en resolución de triángulos rectángulo en donde para ello utilizaste herramientas como el Teorema de Pitágoras y lasFunciones Trigonométricas. Para el caso de triángulos que no sean rectángulos, tales como los oblicuángulos, se requiere del uso de otros métodos distintos; En esta unidad cubriremos dos métodos para el análisis de estos triángulos oblicuángulo, La Ley de los Senos y La ley de los cosenos. Verás también que estos métodos también se pueden aplicar para la resolución de triángulos rectángulos.

LEY DESENOS. En la figura se presenta un triángulo oblicuángulo de lados a, b y c; Ninguno de los ángulos (α, β, γ) de este triángulo es de 90°, por eso es llamado oblicuángulo. En todo triángulo, la medida de sus lados y sus ángulos están ligados, relacionados, por un proporción, que queda manifestada por la igualdad siguiente, llamada Triple Igualdad: a b c = = sen(α ) sen( β ) sen(γ ) Observa quecada cociente se compone de “un lado y su ángulo opuesto”. Esta expresión indica que, la división entre un lado y el ángulo opuesto a éste es la misma para cada uno de los tres casos del triángulo. Ejemplo. En un triángulo equilátero cuyos lados miden 4 unidades, todos sus ángulos son iguales a 60°. De acuerdo a la ley de senos, no hay ninguna duda que se cumple para nuestro triángulo equilátero: a=4b=4 c=4 = = sen(60°) sen(60°) sen(60°) 4 4 4 = = 0.866 0.866 0.866

NOTA. Veamos cómo esta ley de senos puede extenderse para aplicarse en la resolución de triángulos rectángulos. Para ello tomemos como ejemplo el caso del triángulo equilátero anterior; observemos el siguiente cuadro. Ejemplo. Si en el triángulo equilátero anterior trazamos una línea (la punteada) que lo parta en dos partesiguales, obtendríamos el triángulo rectángulo que se muestra en la figura. Apliquemos la ley de senos para encontrar el valor que tomaría la altura de este triángulo, el lado b’; así mostraríamos que la ley de senos se extiende para triángulos rectángulos. Se debe cumplir la igualdad siguiente:

2 b' = sen(30°) sen(60) 2 b' = 0.5 0.866 b' 4= 0.866

b' = ( 4)(0.866)

APLICANDO EL TEOREMA DEPITAGORAS

4 2 = 2 2 + (b' ) 2 (b' ) 2 = 4 2 − 2 2 b' = 12 Así, tenemos que: b'= 3.464 Vemos que el resultado de ambos métodos coincide.

Entonces el valor de la altura es: b'= 3.464

Ejemplo. Apliquemos el método para la resolución del triángulo siguiente: Puedes en tu cuaderno trazar una línea de 5cm. Del inicio de ésta, y a 45°, traza otra línea que le llamaremos c. En su otro extremo y a120° traza la línea b que quedará desconocida en su magnitud. Estas líneas se cruzarán en un punto que representaremos como A. El ángulo en este vértice A, se puede calcular aplicando el hecho que la suma de los ángulos en un triángulo es de 180°: A + 45° + 120° = 180° y aplicando la ley A = 180° − 45° − 120° = 15° de senos: Aplicando el mismo método, te pedimos b c = que determines el valor quetendrá el sen(45°) sen(120°) y entonces lado c y con ello quede resuelto el (12)( sen45°) (12)(0..7071) triángulo. b= = = sen120° (0.866) tenemos que: b = 9.79

IMPORTANTE. La fórmula de la ley de senos nos permite ver un resultado importante, que te presentamos con la siguiente frase: “A un ángulo mayor se le antepone un lado mayor”. En los ejemplos anteriores puede ver que el mayor de los...