Ley de movimiento

LEY DE MOVIMIENTO
Se propone estudiar el caso en que se requiere desplazar
la carga una distancia dL, ó θL si es movimiento angular,
en un tiempo T. El primer paso en la selección del
sistema conductor y de la transmisión es la elección de la
ley de movimiento adecuada. En la figura 1 se presenta la
velocidad de la carga en función del tiempo según dos
leyes de movimientos: 1) triangular,2) trapezoidal.
Ambas leyes deben cumplir con la condición del
desplazamiento total, la cual se obtiene cuando el área
bajo la curva de velocidad sea igual a dL:
( ) L L
0
d
T
∫v t t = d ó ( ) L L
0
d
T
∫ω t t = θ (1)
Figura 1. Ley de movimiento triangular y trapezoidal
En el caso triangular, se tiene que:
L t,max
1
2
d = v T ó L
t,max
v 2d
T
= (2)
t,max L
t,max 2
4
/ 2v d a
T T
= = (3)
donde vt,max y at,max son, respectivamente, la velocidad
máxima y aceleración máxima en la ley de movimiento
triangular. En el caso de movimiento angular se
reemplazan las variables lineales por sus equivalentes
angulares.
En el caso trapezoidal se tiene:
( )
( )
L p,max a a p,max
a p,max
1 2 2
2
d v T T T v
T T v
= ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −
(4)
ó
a
L
p,max T Tv d
−
=
(5)
( )
p,max L
p,max
a a a
v d a
T T T T
= =
−
siendo vp,max y ap,max son, respectivamente, la velocidad
máxima y aceleración máxima en la ley de movimiento
trapezoidal.
La velocidad y aceleración máxima se pueden formular
en función del tiempo T, del desplazamiento dL y de un
coeficiente adimensional que depende de la forma de la
ley de desplazamiento:
2
max L max L/ ; / v a v = c d T a = c d T (6)
donde
v
a
c T
T T
=
−
y ( )
2
a
a a
c T
T T T
=
−
(7)
En la ley de desplazamiento triangular Ta = T/2, con lo
que se obtiene cv = 2 y ca = 4.
3. SISTEMA MOTOR TRANSMISIÓN Y MOTOR
La figura 2 presenta la configuración del sistema motortransmisión-
carga.
Figura 2. Sistema motor-transmisión-carga
Se pretende determinar la relación detransmisión óptima
que minimice el par requerido por el motor para las
condiciones establecidas. En la figura 3 se presentan los
pares que actúan en cada uno de los componentes del
sistema motor-transmisión-carga.
a)
b)
c)
Figura 3. Momentos y velocidades angulares del sistema
Del análisis de potencias sobre motor, transmisión y
carga se obtiene:
m m m1 m1 m m m Γ ω − Γ ω = J ω α
m1 m1 r r r,m mm Γ ω − Γ ω = J ω α (8)
r r L L L L L Γ ω − Γ ω = J ω α
Scientia et Technica Año XII, No 30, Mayo de 2006. U.T.P 163
siendo Jm y JL las inercias del motor y de la carga, Jr,m es
la inercia de la transmisión reducida al eje del motor.
Después de simplificar términos se obtiene el par
requerido en el motor:
L ( ( ) )
m L r m r,m r L
r
J / i J J i
i
Γ
Γ = + + + α (9)
La inercia de latransmisión no se conoce hasta después
de seleccionar el motor, adicionalmente esta es
relativamente pequeña comparada con la del motor y la
de la carga por lo que se puede ignorar, es decir,
L ( )
m L r m r L
r
J / i J i
i
Γ
Γ = + + α (10)
4. OPTIMIZACIÓN DE LA RELACIÓN DE
TRANSMISIÓN
Cuando el par debido a la dinámica de la carga es
comparativamente mayor con respecto al par de lasresistencias pasivas de la carga se puede simplificar la
expresión del par motor:
( ) m L r mr L Γ = J / i + J i α (11)
Para estas condiciones dinámicas, se puede obtener una
relación de transmisión óptima que minimice el par
motor:
m ( 2 )
L r m L
r
d
0 /
d
J i J
i
Γ
= = − + α (12)
Con lo que se obtiene la relación óptima en vacío, iO,opt:
L
O,opt
m
i J
J
= (13)
Si el pardebido a las resistencias pasivas es diferente de
cero se tiene:
m L ( 2 )
2 L r m L
r r
d 0 /
d
J i J
i i
Γ Γ
= = − + − + α (14)
Con lo que se obtiene la relación óptima si el par de las
resistencias pasivas es constante, iL,opt:
L L L
L,opt
m L
i J
J
α + Γ
=
α
(15)
5. SELECCIÓN DEL SERVOMOTOR
Cuando el par de las resistencias pasivas es pequeño o
nulo, el máximo par...