ley de seno y coseno

4.1. TÍTULO

“Resolución y
Aplicación de
Triángulos Oblicuángulos”


4.2. PLANTEAMIENTO

Las leyes o teoremas del seno y coseno se aplican especialmente para triángulos oblicuángulos, es decir, para triángulos que no son rectángulos. Estos teoremas se aplican siempre y cuando se conozcan tres elementos de un triángulo, dentro de los cuales debe haber, al menos, un lado. Si sólo se conocen lostres ángulos es imposible determinar las longitudes de los lados, pues podía tratarse de triángulos semejantes, o sea, triángulos que tienen la misma forma y distinto tamaño.

Si alguna de las relaciones establecidas involucra un ángulo recto, entonces la ley del seno se reduce a la definición de razón trigonométrica seno y la ley del coseno al teorema de Pitágoras.


4.3. LOGRO
Plantea yresuelve situaciones problema de triángulos oblicuángulos, aplicando teoremas de Seno y Coseno.

4.4. ORIENTACIÓN TEMÁTICA
Ley de los Senos

En todo triángulo oblicuángulo se cumple que los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos así:




Esta ley se aplica cuando se conocen: Dos ángulos y un lado (A - L - A)
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos (L – L – A).
Ejemplo 1:
Alinstalar en forma vertical una antena en el techo de una casa, inclinado 15°, los cables que la sostienen forman un ángulo de 45° con el tubo de 1,5 metros que la sostienen. Halle las longitudes de los cables:
Ejemplo 2:
Un topógrafo elige un punto C a 343 metros de un punto A y a 485 metros de otro punto B, ¿cuál es la distancia entre A y B si el ángulo BAC mide 49°30’?
Ejemplo 3:
Un barco B pidesocorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, A y C, que distan entre sí 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: BAC = 46º y BCA = 53º.
¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?
Ejemplo 4: A partir de la figura dada determine los elementos restantes del triángulo teniendo en cuenta las condiciones de cada caso y una de las leyes conocidas:
a. , ,b. , ,
c. , ,










Ley de los Cosenos

En todo triángulo se cumple que el cuadrado de la longitud de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados MENOS el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo que forman, así:



De las anteriores expresiones podemos despejar los ángulos y obtener:

Esta ley se aplica cuando: Se conocen dos lados y el ánguloentre ellos (L-A-L).
Se conocen los tres lados (L-L-L).
Ejemplo 5:
Resolver cada triángulo

a)




b) Si C = 60°, a = 12 y b = 5, hallar c, A y B.
c) a = 70 m b = 55 m C = 73º
d) a = 122 m c = 200 m B = 120º

Ejemplo 6:
Hallar los ángulos de un triángulo si la longitud de los lados son 5, 6 y 8.

Ejemplo 7:
Dos automóviles parten del mismo punto y viajan sobre dos carreteras queforman un ángulo de 84°. ¿Cuál es la distancia comprendida entre los dos automóviles después de 20 minutos si sus velocidades son de 90 y 75 kilómetros por hora, respectivamente?

Ejemplo 8:
Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de 40° y 65°. ¿A quédistancia de A y B se encuentra la emisora?






4.5. TRABAJO INDIVIDUAL

Plantear y resolver las siguientes situaciones:

1. Resolver los triángulos dados:





2. Una antena está sujeta con dos cables de acero de tal modo que forman ángulos de elevación de 58° y 40° respectivamente con el suelo. Si el cable opuesto al ángulo menor, mide 50.5m. Hallar la altura de la antena y la longitud del otrocable.

3. Dos barcos salen de un mismo puerto, y al mismo tiempo, en rutas rectilíneas que forman entre sí un ángulo de 50°. El primero navega con velocidad constante de 75 km/h y el segundo a 55 km/h. Encontrar la distancia que separa a los barcos dos horas y media después de haber partido.

4. Una avioneta, en el aire, se observa desde dos puntos A y B, distanciados 750m. El observador en A...