ley de senos y cosenos

Ley de Senos y Cosenos
Recordemos:
Ley de Senos

A

Ley de Cosenos

𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
=
=
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑐𝑐

𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 – 2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑎𝑎)
𝐵𝐵2 = 𝐴𝐴2 + 𝐶𝐶 2 – 2𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑏𝑏)
𝐶𝐶2 = 𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵2 – 2𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴(𝑐𝑐)
2

2

2

c
C

b

Analiza la siguiente situación y contesta las preguntas.

a

B

Pedro y Carlos son buenos amigos, y también son compañeros en laclase de Matemáticas,
por lo que se reunieron en casa de Pedro para resolver algunos ejercicios. Uno de los problemas de
la tarea fue resolver (calcular el valor de todos los lados y ángulos) elsiguiente triángulo:

10

X = ¿?
a = ¿?
b= ¿?

20

25º

a
X

b

Lo primero que realizaron fue determinar el valor del lado “X”; para lo que ambos amigos
utilizaron la “Ley de Cosenos”; laque expresaron y desarrollaron de la siguiente manera:
𝐴𝐴2 = 𝐵𝐵2 + 𝐶𝐶 2 – 2𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵(𝑎𝑎)

𝑋𝑋 2 = (20)2 + (10)2 – 2(20)(10)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(25º)
𝑋𝑋 2 = 400 + 100 – 400𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(0.9063)
𝑋𝑋 2 = 500 – 326.52
𝑋𝑋2 = 137.48
𝑋𝑋 = √137.48
𝑋𝑋 = 11.7251

Posteriormente deciden utilizar la “ley de Senos” para calcular la magnitud de los ángulos
“a” y “b”, pero cada uno decide calcular de inicio un ángulodistinto; Pedro calculó primero el
ángulo “a” y Carlos comenzó con el ángulo “b”, efectuando los siguientes procedimientos
respectivamente.

Pedro

𝑋𝑋
20
=
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 25º
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎

Carlos

𝑋𝑋10
=
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 25º
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏

11.7251
20
=
0.4226
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎

11.7251
10
=
0.4226
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 =

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏 =

27.7451 =

20
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎

20
27.7451

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑎𝑎 = 0.7208𝑎𝑎 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆−1 (0.7208)
𝑎𝑎 = 46.1205º

𝑏𝑏 = 180 − (25 + 46.1205)
𝑏𝑏 = 108.8795º

27.7451 =

10
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏

10
27.7451

𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑏𝑏 = 0.3604

𝑏𝑏 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆−1 (0.3604)
𝑏𝑏 = 21.1247º

𝑎𝑎= 180 − (25 + 21.1247)
𝑎𝑎 = 133.8753º

Tomando en cuenta lo anterior llegaron a los siguientes resultados para un mismo triángulo:
𝑋𝑋 = 11.7251
𝑎𝑎 = 46.1205º
𝑏𝑏 = 108.8795º

Pedro

𝑋𝑋 =...